問題
下図のような平行六面体が空間内にあり，，，，とする。辺の中点をとし，辺上の点をかつを満たすように定める。
(1) の座標を求めよ。
(2) 3点を通る平面と軸との交点を求めよ。
(3) 3点を通る平面による平行六面体の切り口の面積を求めよ。
% 図は省略
方針
平行六面体の頂点を座標で表す。、、 であり、 は の中点である。(1) は を辺 上の点として とおき、 と から を決める。(2) は を通る平面の方程式を、2本の方向ベクトルの外積で作った法線ベクトルから求め、 軸との交点を代入する。(3) は切り口が の平行四辺形になることを確認し、隣接2辺の外積の大きさで面積を求める。
解答
準備
平行六面体なので である。また は辺 の中点なので である。
(1)
点 は辺 上にある。、 なので、実数 を用いて とおける。
このとき である。したがって である。 より なので である。よって となり が候補である。
条件 は、 が辺 の中点より 側にあることを意味する。したがって でなければならない。よって である。したがって である。
(2)
平面 を求める。2本の方向ベクトルとして と を取る。この2つに垂直な法線ベクトルは、例えば である。したがって平面の方程式は、点 を通ることから である。整理して となる。 軸上の点は と表せる。これを平面の方程式に代入すると である。よって であり である。
(3)
平面 は、辺 上の点 、辺 上の点 、頂点 を通る。さらに (2) で求めた は辺 上にある。したがって切り口は を頂点とする四角形である。
ここで
である。また であり、
である。よって切り口は平行四辺形である。
面積は隣り合う2辺の外積の大きさで求められる。
であるから、面積は
である。