問題
放物線の2本の接線，は垂直であるとする。
(1) の接点の座標がで与えられるとき，，の交点の座標をを用いて表せ。
(2) ，が軸に関して対称なとき，，および放物線で囲まれる部分の面積を求めよ。
出典：東北大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
放物線 の接点を とすると、接線は で傾きは である。(1) はもう一方の接点を とおき、垂直条件 から を決め、2本の接線の交点を係数計算で出す。(2) は 軸対称なので接点が となり、垂直条件から 。あとは放物線と2本の接線で囲まれる部分を左右対称に分けて積分する。
解答
(1)
放物線 上の点 における接線は である。したがって、接点 における接線 は で、傾きは である。
もう一方の接線 の接点を とすると、 の傾きは である。2本の接線は垂直なので であり、 である。特に である。
2本の接線 の交点を求める。両式を等しくして だから である。 なので となる。このとき である。したがって交点は であり、 を代入して を得る。
(2)
2本の接線が 軸に関して対称であるから、接点は と とおける。接線の傾きはそれぞれ 、 であり、垂直条件より だから である。 としてよいので である。
右側の接線は 左側の接線は である。囲まれる部分は左右対称であり、 では上側が放物線 、下側が接線 である。よって求める面積は
である。したがって
である。