問題
先生と3人の生徒，，がおり，玉の入った箱がある。箱の中には最初，赤玉3個、白玉7個，全部で10個の玉が入っている。先生がサイコロをふって，1の目が出たらが，2または3の目が出たらが，その他の目が出たらが箱の中から1つだけ玉を取り出す操作を行う。取り出した玉は箱の中に戻さず，取り出した生徒のものとする。この操作を2回続けて行うものとして以下の問いに答えよ。
ただし，サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし，また，箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする。
(1) が2個の赤玉を手に入れる確率を求めよ。
(2) が少なくとも1個の赤玉を手に入れる確率を求めよ．
方針
生徒が選ばれる確率と玉の色が決まる確率を分けて考える。 が選ばれる確率はそれぞれ で、玉は戻さないので赤玉を続けて引く確率は分子・分母が1ずつ減る。(1) は2回とも かつ2回とも赤玉。(2) は直接「少なくとも1個」を数えるより、2回のうち が選ばれた回数で分け、 が赤玉を1個も得ない余事象を計算する。
解答
(1)
1回の操作で が選ばれる確率は である。 が2個の赤玉を手に入れるには、2回とも が選ばれ、さらに2回とも赤玉を取り出す必要がある。
玉は戻さないので、1回目に赤玉を取り出す確率は 、その後に赤玉を取り出す確率は である。したがって求める確率は
である。
(2)
1回の操作で が選ばれる確率は である。2回のうち が選ばれる回数を とする。すると
である。 が赤玉を1個も手に入れない確率を求める。 なら は玉を取らないので、赤玉を得ない確率は である。 なら、 が取る1個が白玉であればよく、その確率は である。 なら、 が取る2個がどちらも白玉であればよく、その確率は である。
よって が赤玉を1個も得ない確率は
である。したがって、 が少なくとも1個の赤玉を手に入れる確率は である。