問題
三角形の辺をに内分する点をとする。動点は を満たすとし，直線と直線の交点をとする。
(1) 実数をで定めるとき，次の等式が成り立つことを示せ。
(2) 三角形の面積を，三角形の面積をとするとき，の最大値と，そのときのを求めよ。
出典：東北大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
を基底として、 の位置ベクトルを係数で表す。 が一直線上にあることを、 が の一次結合で表せることに直し、 と の係数を比較して関係式を得る。(2) では、 と がそれぞれ 上の倍率 にあることから、面積比 を使う。(1) の関係式から を消去し、 で1変数関数を最大化する。
解答
(1)
、 とおく。点 は辺 を に内分するので である。また、条件より である。
点 は一直線上にあるから、ある実数 を用いて
と書ける。これに上の表示を代入すると である。 は三角形をつくるので は平行でなく、係数を比較できる。したがって である。ここから を得る。両式を加えると だから すなわち である。
(2)
三角形 は、三角形 の 方向を 倍、 方向を 倍した三角形である。よって面積について が成り立つ。したがって である。
(1) より であるから である。ここで なので であり、 も確認できる。したがって となる。 とおくと である。 では分母は正なので、 は 、 は である。よって最大は で生じ、その値は である。したがって である。