問題
以下の問いに答えよ。
(1) 実数に関する連立不等式
が解をもつような実数の範囲を求めよ。
(2) を満たすすべての実数に対し不等式
が成り立つような実数の範囲を求めよ。
出典：東北大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
指数が正負に出ているので、まず とおいて の問題に直す。(1) は すなわち の範囲で、ある が存在する条件を の最大値として読む。(2) は「すべての 」なので、すべての で が成り立つ条件に直し、係数 の符号が変わる を境に の下限・上限を別々に求める。最後に各範囲で得た条件が同時に成り立つことを確認する。
解答
(1)
とおくと、 は に対応する。また であるから、第2不等式は であり、両辺に をかけて となる。したがって、連立不等式が解をもつ条件は、ある に対して となることである。 とおくと であり、 では である。よって は で単調減少し、最大値は のとき である。ゆえに求める条件は である。実際、 なら 、すなわち で等号が成り立つ。
(2)
同じく とおくと、 は である。不等式 は となる。 なので両辺に をかけて を得る。これがすべての で成り立つ条件を調べる。
まず では だから が必要十分である。関数 について
であるから、 はこの範囲で単調減少する。したがって最大値は のとき であり、ここから が必要十分条件として出る。
次に では であり、 について条件はない。最後に では だから が必要十分である。ここで であり、 とおくと で、等号は 、すなわち のときである。したがってすべての で成り立つためには が必要十分である。
以上を合わせて である。