東北大学 2009年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

$a$ を $a > 1$ を満たす実数とし， $y = sin x$ のグラフと $y = sin a x$ のグラフの $x > 0$ における交点のうち， $x$ 座標が最も小さい点を $P$ とする．点 $P$ の $x$ 座標を $f (a)$ とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1) $f (a)$ を $a$ で表せ．

(2) $0 ≦ x ≦ f (a)$ において $y = sin x$ のグラフと $y = sin a x$ のグラフで囲まれた図形の面積 $S (a)$ を $a$ で表せ．

(3) (2)の $S (a)$ について， $a \to \infty lim a S (a)$ を求めよ．

出典：東北大学 2009年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

最初の交点は $sin a x = sin x$ の一般解2系列から，最小の正の $x$ を選んで決める。 $a > 1$ では $x = π / (a + 1)$ が最初の交点になる。区間 $0 < x < f (a)$ では最初の交点が来るまで $sin a x > sin x$ なので，面積は $\int (sin a x - sin x) d x$ で求める。極限は $1 - cos u = 2 sin^{2} (u /2) ≦ u^{2} /2$ を用いて評価する。

解答

(1)

交点では $sin a x = sin x$ である。したがって $a x = x + 2 k π$ または $a x = π - x + 2 k π$ である。正の解はそれぞれ $x = \frac{2 k π}{a - 1} (k = 1, 2, \dots)$ および $x = \frac{( 2 k + 1 ) π}{a + 1} (k = 0, 1, 2, \dots)$ である。最小候補は $\frac{2 π}{a - 1} と \frac{π}{a + 1}$ である。 $a > 1$ より $\frac{π}{a + 1} < \frac{2 π}{a - 1}$ なので，最初の交点の $x$ 座標は $f (a) = \frac{π}{a + 1}$ である。

(2)

$g (x) = sin a x - sin x$ とおくと， $g (0) = 0$ であり， $g^{'} (0) = a - 1 > 0$ である。したがって $0$ のすぐ右では $sin a x > sin x$ である。最初の交点までは上下関係は変わらないため，囲まれた部分の面積は $S (a) = \int_{0}^{π / (a + 1)} (sin a x - sin x) d x$ である。 $h = π / (a + 1)$ とおくと $ah = \frac{aπ}{a + 1} = π - h$ である。したがって

S (a) = [- \frac{cos a x}{a} + cos x]_{0}^{h} = - \frac{cos ah}{a} + cos h + \frac{1}{a} - 1 = \frac{cos h}{a} + cos h + \frac{1}{a} - 1 = \frac{( a + 1 ) cos h - ( a - 1 )}{a}

である。よって $S (a) = \frac{( a + 1 ) cos \frac{π}{a + 1} - ( a - 1 )}{a}$ である。

(3)

(2)より $a S (a) = (a + 1) cos \frac{π}{a + 1} - (a - 1)$ である。これを $a S (a) = 2 - (a + 1) (1 - cos \frac{π}{a + 1})$ と書く。

$u = π / (a + 1)$ とおくと， $a \to \infty$ のとき $u \to 0$ である。また $1 - cos u = 2 sin^{2} \frac{u}{2} ≦ 2 (\frac{u}{2})^{2} = \frac{u ^{2}}{2}$ だから $0 ≦ (a + 1) (1 - cos u) ≦ (a + 1) \frac{u ^{2}}{2} = \frac{π ^{2}}{2 ( a + 1 )} \to 0$ である。したがって $lim_{a \to \infty} a S (a) = 2$ である。

東北大学 2009年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2009年度
後期・理系数学後期第6問