問題
一直線上にない3点，，の位置ベクトルをそれぞれ，，とする．を満たす実数に対して，の辺，，をに内分する点をそれぞれ，，とする．また，線分との交点を，線分との交点を，線分との交点をとする．以下の問いに答えよ．
(1) 実数，，が，を満たすとき，となることを示せ．
(2) 点の位置ベクトルを，，，で表せ．
(3) 3点，，が一致するようなを求めよ．
出典：東北大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
(1)は，一直線上にない3点から作る2つの差ベクトルが平行でないことを使って係数の一意性を示す。(2)はを線分上と上の2通りに表し，(1)の一意性を使って係数比較する。(3)は同じ計算を巡回的に用いての係数を並べ，3点が一致する条件として係数が一致することを調べる。
解答
(1)
より である。したがって は と書ける。3点は一直線上にないので，とは平行でない。よってこの一次結合が零ベクトルになるには でなければならない。するとである。したがって である。
(2)
内分点の位置ベクトルは
である。
は上にあるので，あるを用いて と表せる。または上にもあるので，あるを用いて と表せる。係数の和はいずれも1なので，(1)の結果により係数を比較してよい。したがって である。
これを解く。よりである。これを第一式に代入すると であり， となる。よって である。したがって である。
(3)
(2)と同様に巡回的に計算すると， であり， である。
3点が一致するためには，(1)の係数の一意性により，の係数がそれぞれ一致すればよい。たとえばを考えると，分母は共通なので が必要である。だからであり， を得る。したがって である。
実際にのとき，の係数はいずれも となるので3点は一致する。よって求める値は である。