東北大学 2009年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

(1)

$R(x)$は2つの割り算の共通の余りである。したがって $Q(x)=P(x)-R(x)$ とおくと，$Q(x)$は$(x-a)(x-b)$で割り切れ，かつ$(x-c)(x-d)$でも割り切れる。よって $Q(a)=Q(b)=Q(c)=Q(d)=0$ である。また$P(x)$は3次式であり，$R(x)$は2次式で割った余りなので1次式以下である。したがって$Q(x)$は3次式である。

(2)

3次式が相異なる4つの実数根をもつことはできない。ところが(1)より，$a,b,c,d$はいずれも$Q(x)$の根である。したがって$a,b,c,d$のうち少なくとも2つは等しい。

条件として $a<b,c<d,b\ne c,a\ne d$ が与えられている。したがって等しい可能性がある組は $a=c\text{または}b=d$ だけである。よって $\boxed{a=c\text{または}b=d}$ である。

(3)

与えられた$P(x)$は，$F(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$ とおくと $P(x)=F^{\prime }(x)$ である。つまり，$P$は4つの因子のうち1つを微分したものを足し合わせた形である。

(2)より，$a=c$または$b=d$である。まず$a=c$とする。このとき，余りが一致する条件は，点 $(a,P(a)),(b,P(b)),(d,P(d))$ が同一直線上にあることを意味する。$a=c$のもとでは $P(a)=0,P(b)=(b-a{)}^2(b-d),P(d)=(d-a{)}^2(d-b)$ である。したがって，$b\ne d$と仮定すると，直線の傾きの一致から $\frac{P(b)-P(a)}{b-a}=\frac{P(d)-P(a)}{d-a}$ すなわち $(b-a)(b-d)=(d-a)(d-b)$ を得る。これは $(b-d)(b+d-2a)=0$ である。ところが$a=c<d$かつ$a<b$なので $b+d-2a>0$ である。よって$b-d=0$，すなわち$b=d$である。したがって$a=c$なら$b=d$も成り立つ。

同様に$b=d$とする。このとき $P(b)=0,P(a)=(a-b{)}^2(a-c),P(c)=(c-b{)}^2(c-a)$ である。$a\ne c$と仮定すると，点$(b,P(b))$を基準にした傾きの一致から $(a-b)(a-c)=(c-b)(c-a)$ となり，$(a-c)(a+c-2b)=0$ を得る。$a<b$かつ$c<d=b$なので$a+c-2b<0$である。したがって$a=c$である。

以上より，どちらの場合から出発しても $\boxed{a=c,b=d}$ が従う。このとき当然 $\boxed{b-a=d-c}$ も成り立つ。