問題
実数の間の等式
を以下の手順に従って示せ．
(1) 係数が整数であるの3次方程式でが解になるものを1つ求めよ．
(2) (1)で求めた3次方程式を解くことにより，等式（※）を証明せよ．
出典：東北大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
与えられた数をそのまま扱うのではなく，2つの3乗根をとおく。積が1になることを確認すると，の3乗がで表せる。これによりが満たす整数係数の3次方程式を作り，因数分解して実数解が1つだけであることを示す。
解答
(1)
とおく。このとき である。また である。
したがって
である。よっては の解である。
(2)
(1)で得た3次方程式を因数分解すると である。2次式について であるから，実数解をもたない。したがって実数解は だけである。
もとの は実数であり，(1)の3次方程式の解である。実数解はただ1つなので，その値は2である。よって が示された。