問題
不等式が表す座標平面上の領域をとする．実数に対して，放物線をで定める．このとき，上の点がすべての点となるようなの範囲を求めよ．
出典：東北大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
絶対値をとで外し，領域の境界を2本の直線として見る。放物線上のすべての点がに入るには，それぞれの区間で放物線の座標が境界直線より常に大きいことが必要十分である。得られる2つの2次式について，頂点が担当区間に入るかどうかも含めて最小値を調べ，開領域なので等号を含めない。
解答
不等式 を区間ごとに整理する。ではだから すなわち である。ではだから すなわち である。
放物線は である。すべての点がに入る条件を，2つの区間で調べる。
まずでは がすべてので成り立つことが必要十分である。これは がすべてので成り立つことと同値である。の頂点は である。頂点がに入る，すなわちのとき，最小値は であり，これが正であるためには が必要十分である。のときは，での下限はでの値であり だから常に成り立つ。結局，前半の条件は である。
次にでは すなわち がすべてので成り立つことが必要十分である。の頂点は である。のとき頂点はに入り，最小値は だから が必要である。のとき頂点はにあり，での下限はでの値 なので常に成り立つ。したがって後半の条件は である。
以上より求める範囲は である。領域は境界を含まないため，やは含まれない。