問題
袋の中に青玉が7個，赤玉が3個入っている．袋から1回につき1個ずつ玉を取り出す．一度取り出した玉は袋に戻さないとして，以下の問いに答えよ．
(1) 4回目に初めて赤玉が取り出される確率を求めよ．
(2) 8回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されている確率を求めよ．
(3) 赤玉がちょうど8回目ですべて取り出される確率を求めよ．
出典：東北大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
玉を戻さないので，各取り出し順における赤玉3個の位置だけに注目するとよい。10個の位置のうち赤玉が入る3つの位置は同様に確からしい。(1)は順に青・青・青・赤と出る確率を直接掛けてもよく，(2)(3)は赤玉3個の位置集合を数えると短く整理できる。
解答
(1)
4回目に初めて赤玉が取り出されるには，最初の3回が青玉で，4回目が赤玉であればよい。したがって確率は
である。
(2)
10回の取り出し順のうち，赤玉3個が現れる位置だけを考える。赤玉の位置は10個の位置から3個を選ぶので，全体は 通りである。8回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されているためには，赤玉3個の位置がすべて1回目から8回目までに入っていればよい。よって確率は
である。
(3)
赤玉がちょうど8回目ですべて取り出されるとは，8回目が3個目の赤玉であるということである。したがって，1回目から7回目までに赤玉が2個あり，8回目が赤玉であればよい。赤玉の位置で数えると，8回目を必ず選び，残り2個の赤玉の位置を1回目から7回目までの中から選ぶので 通りである。よって確率は
である。