東北大学 2009年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

辺 $A B$ の長さが1， $∠ A$ が直角となる三角形 $△ A B C$ がある．辺 $B C$ 上を点 $C$ から点 $B$ まで動く点 $D$ を考え，内積 $A D \cdot A B$ を $t$ とおく．以下の問いに答えよ．

(1) $t$ の動く範囲を求めよ．

(2) $A D \cdot A C = C D \cdot C A$ が成り立つとき， $t$ の値を求めよ．

出典：東北大学 2009年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

直角をなす $A B$ と $A C$ を基準にし， $D$ を辺 $B C$ 上の比で表す。 $A B = 1$ なので， $A D \cdot A B$ は $A B$ 方向の係数そのものになる。(2)では同じ表示を使い， $A D \cdot A C$ と $C D \cdot C A$ を計算して係数を比較する。

解答

(1)

$A B = u, A C = v$ とおく。 $∠ A$ は直角であり， $A B = 1$ だから $∣ u ∣ = 1, u \cdot v = 0$ である。

点 $D$ は辺 $B C$ 上を $C$ から $B$ まで動くので，ある実数 $s$ を用いて $A D = s u + (1 - s) v (0 ≦ s ≦ 1)$ と表せる。 $s = 0$ のとき $D = C$ ， $s = 1$ のとき $D = B$ である。このとき

t = A D \cdot A B = {s u + (1 - s) v} \cdot u = s ∣ u ∣^{2} + (1 - s) v \cdot u = s

である。したがって $t$ の動く範囲は $0 ≦ t ≦ 1$ である。

(2)

(1)と同じく $A D = s u + (1 - s) v$ とする。すると

A D \cdot A C = {s u + (1 - s) v} \cdot v = (1 - s) ∣ v ∣^{2}

である。また

C D = A D - A C = s u - s v = s (u - v)

であり， $C A = - v$ だから

C D \cdot C A = s (u - v) \cdot (- v) = s ∣ v ∣^{2}

である。

条件

A D \cdot A C = C D \cdot C A

は $(1 - s) ∣ v ∣^{2} = s ∣ v ∣^{2}$ となる。三角形なので $∣ v ∣ \neq = 0$ であり， $1 - s = s$ より $s = \frac{1}{2}$ である。(1)で $t = s$ だったので $t = \frac{1}{2}$ である。

東北大学 2009年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2009年度
文系数学前期第2問