問題
すべての実数に対して不等式が成り立つような実数の範囲を求めよ．
出典：東北大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
は正の値全体を動くので，と置いてにおける2次式の正値条件に直す。は上に開く2次式であり，ならで単調増加，なら頂点が正の範囲に入る。したがって，最小値がどこで現れるかをの符号で分け，端に近づく場合はが含まれないことにも注意して不等式を決める。
解答
すべての実数に対して が成り立つ条件を求める。とおくと，が実数全体を動くときはの範囲を動く。また であるから，求める条件は がすべてので成り立つことである。
まずのときを考える。このときでは であるから，はで増加する。したがってのときの極限 を見ればよい。なら十分小さい正のでとなるので不適である。一方，なら，に対して またはのときもとなり条件を満たす。よって である。
次にのときを考える。このとき頂点 は正の範囲にある。したがって必要十分条件は頂点での値が正であることである。最小値は だから が必要十分である。両辺を16倍して整理すると である。この2次式の根は なので である。いまを考えているから となる。
以上を合わせて，求めるの範囲は である。下端では頂点でとなるため不可，上端はでとなるため可である。