問題
とし，をに最も近い整数とする．ただし，2つある場合はどちらか一方を選ぶとする．このとき，となることを示せ．
出典：東北大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第4問
方針
「最も近い整数」という条件を， と の距離が高々 であるという不等式に直す。両辺に を掛けると， が から高々 だけ離れていることが分かる。あとは 上での の最小値を端点で評価する。
解答
は に最も近い整数である。2つある場合はどちらか一方を選ぶとしても，少なくとも が成り立つ。
ここで なので，両辺に正の数 を掛けて を得る。したがって である。
いま だから，この区間は に含まれる。関数 は を中心として左右対称で， から離れるほどこの範囲では小さくなる。よって上の区間における の最小値は端点でとられ， である。したがって が示された。