問題
とを実数とし，曲線と平面上の4点，，，を頂点とする平行四辺形を考える．直線は曲線の接線であり，その接点は線分上にあるとする．曲線の上側と平行四辺形の内部の共通部分の面積をとおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) をで表せ．また，の値の範囲を求めよ．
(2) 曲線が線分と交わるとき，の値の範囲を求め，をで表せ．
(3) が(1)で求めた範囲を動くとき，の最大値を求めよ．
方針
接点の 座標を と置くと，接線 は であり，接線条件から ， が決まる。曲線は と書けるので，平行四辺形内で曲線の上側に残る縦の長さは である。(2)では線分 との交点条件から に絞り，(3)では 全体で積分区間を場合分けして最大値を確認する。
解答
(1)
直線 は ， を通るので である。曲線 とこの直線の接点の 座標を とする。
曲線の接線の傾きは であるから，接点での傾きが2である条件は である。したがって である。また接点は直線 上にあるので である。ここに を代入すると である。よって である。
接点が線分 上にある条件は である。 だから である。
(2)
とおく。(1)より曲線は である。平行四辺形 は で表される。
曲線が線分 と交わるとは，， 上に曲線の点があることである。 で曲線の 座標は だから である。さらに(1)より なので である。したがって である。
このとき曲線の上側かつ平行四辺形の内部にある部分の縦の長さは である。 では有効な積分区間は なので である。 とおくと，積分区間は となり
である。 より である。
(3)
(1)より を動かせばよい。一般には である。 では，(2)と同じく であり，微分すると である。よってこの範囲では で最大となる。 では積分区間は である。 とおくと である。これは が から へ減るにつれて減少するので，この範囲でも最大は である。
したがって最大値は である。