問題
数直線上を点が1ステップごとに，+1または-1だけそれぞれの確率で移動する．数直線上の値が3の点をとして，がにたどり着くと停止する．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) が原点から出発して，ちょうど5ステップでにたどり着く確率を求めよ．
(2) が原点から出発して，ちょうど6ステップで値が2の点にたどり着く確率を求めよ．
(3) が原点から出発して，8ステップ以上移動する確率を求めよ．
方針
停止点 に到達する前の経路だけを数える。(1)は最後の一歩が であることを固定し，初めの4ステップのうち不適な並びを除く。(2)は6ステップ後に2へいる全経路から，途中で3へ到達した経路を除く。(3)は7ステップ終了時まで3へ到達しない経路数を段階的に数える。別解として，最初に3へ到達したところまでを反転する対応でも個数を確認できる。
解答
(1)
5ステップで値3に到達するには， が4回， が1回でなければならない。また，ちょうど5ステップで初めて に到達するので，最後のステップは である。
したがって，初めの4ステップには が3回， が1回含まれる。ただし，初めの3ステップがすべて であると，3ステップ目で値3に到達して停止してしまう。よって の位置は初めの3ステップのどこかであり，3通りである。
したがって求める確率は である。
(2)
6ステップ後に値2にいるには， が4回， が2回である。全体では 通りである。
このうち，途中で値3に到達する経路を除く。値3に到達した経路について，初めて値3に到達した時点までの と を入れ替えると，6ステップ後に値4へ到達する経路に対応する。6ステップ後に値4へ到達するには が5回， が1回であるから 通りである。
したがって，途中で3に到達せず6ステップ後に2にいる経路は 通りである。よって確率は である。
(3)
8ステップ以上移動するとは，7ステップ終了時までに値3へ到達しないことである。値3以上へ初めて到達する場合は，必ず値3に到達するので，7ステップの間ずっと値2以下にいる経路を数えればよい。
各ステップ後の位置ごとに，値3へ到達していない経路数を数える。7ステップ目まで順に数えると，7ステップ後に可能な位置と経路数は である。これらの合計は である。
したがって求める確率は である。
別解。(3)は反転対応でも数えられる。7ステップ後の位置を とすると，3に到達しない経路では のいずれかである。終点を に固定したとき，途中で初めて3に到達する経路は，初めて3に到達するまでの部分を反転することで，終点が である経路に対応する。したがって，終点 で3に到達しない経路数は である。ただし，下の添字が0から7の範囲を外れるものは0通りとする。
各 について順に並べると となる。合計は であり，やはり確率は である。