問題
点が次のルール(i)，(ii)に従って数直線上を移動するものとする．
(i) の目が同じ割合で出るサイコロを振り，出た目の数をとする．の座標について，ならば座標の点へ移動し，ならば座標の点へ移動する．
(ii) 原点に移動したら終了し，そうでなければ(i)を繰り返す．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1) の座標がのいずれかであるとき，ちょうど2回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ．
(2) の座標がのいずれかであるとき，ちょうど3回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ．
(3) の座標が7であるとき，ちょうど回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ．
方針
座標の符号は変わっても，原点までの距離だけを見ると，距離 から1回で終了するのはサイコロの目が のときである。特に では毎回終了確率が ，終了しない確率が で，終了しなければ再び距離は から の範囲に入る。初期座標7では1回目に原点へは行けず，必ず距離 から に移ることを使う。
解答
(1)
点の座標の絶対値を とする。 のとき，1回のサイコロで原点に移るのは，出た目がちょうど の場合である。したがって，1回で終了する確率は常に である。
また，1回で終了しなかった場合，移動後の原点からの距離は であり，これは のいずれかである。したがって再び「距離が1から6の範囲にある」状態に戻る。
ちょうど2回で終了するには，1回目で終了せず，2回目で終了すればよい。よって求める確率は である。
(2)
同じ考え方で，ちょうど3回で終了するには，最初の2回は終了せず，3回目で終了すればよい。したがって である。
(3)
初めの座標が7のとき，1回目に出る目は から なので，1回では原点に到達しない。1回目の後の原点からの距離は のいずれかである。
したがって のとき，求める確率は である。 のときは，1回目の後に距離 から の状態となり，そこからちょうど 回目に終了すればよい。上で見たように，距離 から の状態では「終了しない」を 回続け，最後に終了する確率は である。よって
である。