東北大学 2008年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

平面上の $△ O A_{1} A_{2}$ は $∠ O A_{2} A_{1} = 90^{\circ}$ ， $O A_{1} = 1$ ， $O A_{2} = \frac{1}{3}$ を満たすとする． $A_{2}$ から $O A_{1}$ へ垂線を下ろし，交点を $A_{3}$ とする． $A_{3}$ から $O A_{2}$ へ垂線を下ろし，交点を $A_{4}$ とする．以下同様に， $k = 4, 5, \dots$ について， $A_{k}$ から $O A_{k - 1}$ へ垂線を下ろし，交点を $A_{k + 1}$ として，順番に $A_{5}, A_{6}, \dots$ を定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $A_{k} A_{k + 1}$ $(k = 1, 2, \dots)$ を求めよ．

(2) $h_{k} = A_{k} A_{k + 1}$ とおくとき，自然数 $n$ に対して $k = 1 \sum n h_{k} \cdot h_{k + 1}$ を求めよ．ただし， $h_{k} \cdot h_{k + 1}$ は $h_{k}$ と $h_{k + 1}$ の内積を表す．

出典：東北大学 2008年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

2本の半直線 $O A_{1}$ ， $O A_{2}$ のなす角を $ϕ$ とおき，最初の直角三角形から $cos ϕ$ と $sin ϕ$ を求める。以後は一方の半直線から他方へ垂線を下ろす操作なので，垂線の長さは毎回 $cos ϕ$ 倍になる。内積は，隣り合う垂線ベクトルの長さの積と，そのなす角の余弦 $- cos ϕ$ から等比数列として和を取る。

解答

(1)

$∠ A_{1} O A_{2} = ϕ$ とおく。 $△ O A_{1} A_{2}$ は $A_{2}$ で直角であり， $O A_{1} = 1$ ， $O A_{2} = 1/ 3$ である。したがって $O A_{1}$ が斜辺であり， $cos ϕ = \frac{O A _{2}}{O A _{1}} = \frac{1}{3}$ である。また $sin ϕ = 1 - cos^{2} ϕ = \frac{2}{3}$ である。

最初の長さは $A_{1} A_{2} = O A_{1} sin ϕ = \frac{2}{3}$ である。次に $A_{2}$ から $O A_{1}$ に垂線を下ろすと，できる直角三角形は前のものと同じ角 $ϕ$ をもつので，垂線の長さは前の長さの $cos ϕ$ 倍になる。この操作が繰り返されるから $A_{k} A_{k + 1} = A_{1} A_{2} (cos ϕ)^{k - 1}$ である。よって

A_{k} A_{k + 1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{3})^{k - 1} = \frac{2}{3 ^{k /2}}

である。

(2)

$h_{k} = A_{k} A_{k + 1}$ であるから，(1)より $∣ h_{k} ∣ = \frac{2}{3 ^{k /2}}$ である。

隣り合う $h_{k}$ と $h_{k + 1}$ は，交互に2本の半直線へ垂直に下ろされる向きのベクトルである。向きまで含めて考えると，そのなす角の余弦は $- cos ϕ = - \frac{1}{3}$ である。したがって

h_{k} \cdot h_{k + 1} = ∣ h_{k} ∣ ∣ h_{k + 1} ∣ (- \frac{1}{3})

であり，(1)の長さを代入して $h_{k} \cdot h_{k + 1} = - \frac{2}{3 ^{k + 1}}$ を得る。

よって

k = 1 \sum n h_{k} \cdot h_{k + 1} = - k = 1 \sum n \frac{2}{3 ^{k + 1}}

である。等比数列の和より

k = 1 \sum n \frac{2}{3 ^{k + 1}} = \frac{2}{9} \cdot \frac{1 - ( 1/3 ) ^{n}}{1 - 1/3} = \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{3 ^{n}})

だから

k = 1 \sum n h_{k} \cdot h_{k + 1} = - \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{3 ^{n}})

である。

東北大学 2008年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2008年度
文系数学前期第3問