東北大学 2008年度
文系数学 前期 第1問

解答

(1)

与えられた多項式は $f(x)=x^3+(2a-4)x^2+(a^2-4a+4)x=x\{x+(a-2){\}}^2$ である。すなわち $f(x)=x\{x-(2-a){\}}^2$ である。

したがって $f(x)=0$ の実数解は $x=0,x=2-a$ である。ただし $x=2-a$ は重解である。方程式が2つの異なる実数解をもつためには，この2つが一致しなければよいから $2-a\ne 0$ である。よって求める範囲は $a\ne 2$ である。

(2)

$r=2-a$ とおく。(1)の範囲では $r\ne 0$ であり，$f(x)=x(x-r{)}^2$ である。微分すると $f^{\prime }(x)=(x-r{)}^2+2x(x-r)=(x-r)(3x-r)$ である。したがって停留点は $x=r,x=\frac{r}{3}$ である。

まず $a<2$，すなわち $r>0$ のとき，2つの停留点は $\frac{r}{3}<r$ の順に並ぶ。$f^{\prime }(x)=(x-r)(3x-r)$ の符号は，$x=r/3$ で正から負に，$x=r$ で負から正に変わる。よって $x=\frac{r}{3}=\frac{2-a}{3}$ で極大，$x=r=2-a$ で極小である。値は

であり，$f(r)=0$ である。

次に $a>2$，すなわち $r<0$ のとき，2つの停留点は $r<\frac{r}{3}$ の順に並ぶ。この場合，$x=r$ で $f^{\prime }(x)$ は正から負に変わり，$x=r/3$ で負から正に変わる。したがって $x=r=2-a$ で極大，$x=\frac{r}{3}=\frac{2-a}{3}$ で極小である。値は $f(r)=0$ であり，$f\left(\frac{r}{3}\right)=\frac{4r^3}{27}=-\frac{4(a-2{)}^3}{27}$ である。

(3)

極大点だけを取り出す。 $a>2$ のときは，(2)より極大点は $(x,y)=(2-a,0)$ である。このとき $x=2-a<0$ であり，$a$ が $2<a$ を動くと $x$ はすべての負の値をとる。したがってこの部分の軌跡は $y=0(x<0)$ である。 $a<2$ のときは，極大点は $x=\frac{2-a}{3},y=\frac{4(2-a{)}^3}{27}$ である。ここで $x=(2-a)/3$ だから $2-a=3x$ であり，$a<2$ より $x>0$ である。したがって $y=\frac{4(3x{)}^3}{27}=4x^3$ となる。この部分の軌跡は $y=4x^3(x>0)$ である。

よって求める図形は $y=0(x<0),y=4x^3(x>0)$ である。原点は $a=2$ に対応するが，$a=2$ は(1)の範囲に含まれないので，原点は含まない。