東北大学 2007年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

$a > 0$ に対し $I_{0} (a) = \int_{0}^{a} 1 + x d x$ ， $I_{n} (a) = \int_{0}^{a} x^{n} 1 + x d x$ $(n = 1, 2, \dots)$ とおく．

(1) $a \to \infty lim a^{- \frac{3}{2}} I_{0} (a)$ を求めよ．

(2) 漸化式 $I_{n} (a) = \frac{2}{3 + 2 n} a^{n} (1 + a)^{\frac{3}{2}} - \frac{2 n}{3 + 2 n} I_{n - 1} (a)$ $(n = 1, 2, \dots)$ を示せ．

(3) 自然数 $n$ に対して， $a \to \infty lim a^{- (\frac{3}{2} + n)} I_{n} (a)$ を求めよ．

出典：東北大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

(1)は $I_{0} (a)$ を直接積分する。(2)は $I_{n} (a) = \int_{0}^{a} x^{n} (1 + x)^{1/2} d x$ で， $(1 + x)^{1/2} d x$ を $d {(1 + x)^{3/2}}$ に対応させて部分積分する。その後， $(1 + x)^{3/2} = x 1 + x + 1 + x$ を使って $I_{n}$ と $I_{n - 1}$ に戻す。(3)は漸化式を $a^{n + 3/2}$ で割り，帰納法で前項の寄与が 0 になることを確認する。別解として，積分関数の主要部 $x^{n + 1/2}$ を直接比較しても同じ極限を得られる。

解答

(1)

直接積分すると

I_{0} (a) = \int_{0}^{a} 1 + x d x = [\frac{2}{3} (1 + x)^{3/2}]_{0}^{a} = \frac{2}{3} {(1 + a)^{3/2} - 1}

である。したがって

a^{- 3/2} I_{0} (a) = \frac{2}{3} {(1 + \frac{1}{a})^{3/2} - a^{- 3/2}}

より $lim_{a \to \infty} a^{- 3/2} I_{0} (a) = \frac{2}{3}$ である。

(2)

$n ≧ 1$ とする。部分積分で

I_{n} (a) = \int_{0}^{a} x^{n} 1 + x d x = [\frac{2}{3} x^{n} (1 + x)^{3/2}]_{0}^{a} - \frac{2 n}{3} \int_{0}^{a} x^{n - 1} (1 + x)^{3/2} d x = \frac{2}{3} a^{n} (1 + a)^{3/2} - \frac{2 n}{3} \int_{0}^{a} x^{n - 1} (1 + x)^{3/2} d x

である。ここで $(1 + x)^{3/2} = x 1 + x + 1 + x$ だから $\int_{0}^{a} x^{n - 1} (1 + x)^{3/2} d x = I_{n} (a) + I_{n - 1} (a)$ である。これを代入して整理すると $I_{n} (a) = \frac{2}{3 + 2 n} a^{n} (1 + a)^{3/2} - \frac{2 n}{3 + 2 n} I_{n - 1} (a)$ を得る。

(3)

$L_{n} = lim_{a \to \infty} a^{- (n + 3/2)} I_{n} (a)$ とおく。(1)より $L_{0} = 2/3$ である。(2)の漸化式を $a^{n + 3/2}$ で割ると

a^{- (n + 3/2)} I_{n} (a) = \frac{2}{2 n + 3} (1 + \frac{1}{a})^{3/2} - \frac{2 n}{2 n + 3} \cdot \frac{1}{a} a^{- (n - 1 + 3/2)} I_{n - 1} (a)

である。帰納法で $L_{n - 1}$ が有限であるとすれば，第2項は $a \to \infty$ で 0 に近づく。したがって $L_{n} = \frac{2}{2 n + 3}$ である。よって自然数 n に対して $lim_{a \to \infty} a^{- (n + 3/2)} I_{n} (a) = \frac{2}{2 n + 3}$ である。

別解。 $0 ≦ x ≦ a$ で $x = a u$ と置くと $a^{- (n + 3/2)} I_{n} (a) = \int_{0}^{1} u^{n} u + \frac{1}{a} d u$ である。 $a \to \infty$ で integrand は $u^{n + 1/2}$ に近づくので，極限は $\int_{0}^{1} u^{n + 1/2} d u = \frac{2}{2 n + 3}$ となり，同じ結果を得る。

東北大学 2007年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2007年度
理系数学前期第6問