問題
空間において，点(1,0,1)と点(1,0,2)を結ぶ線分をとし，を軸のまわりに一回転してできる図形をとする．を軸のまわりに一回転してできる立体の体積を求めよ．
出典：東北大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
線分 l を z 軸まわりに回すと，半径 1，高さ 1 の円柱側面 A になる。次に A を x 軸のまわりに回した立体を，x を固定した断面で見る。x が -1 から 1 まで動くとき，元の円柱側面では ， である。これを x 軸まわりに回すと，断面は内半径 ，外半径 の円環になり，面積が と一定になるので積分する。
解答
線分 l は点 (1,0,1) と点 (1,0,2) を結ぶので，z 軸からの距離は常に 1 であり，z は 1 から 2 まで動く。したがって，l を z 軸のまわりに1回転してできる図形 A は で表される円柱の側面である。
この A を x 軸のまわりに回転してできる立体を，x に垂直な平面で切る。A 上では である。固定した x に対して，x 軸からの距離の2乗は である。z が 1 から 2 まで動くので，回転後の断面は半径 から までの円環である。
したがって断面積は で一定である。よって体積は である。