問題
平面上に4点(0,0)，(4,0)，(4,4)，(0,4)を頂点とする正方形を考える．点(1,2)を通る各直線に対して，そのに含まれる部分をとおく．
(1) の長さの最大値と，それを与える直線の方程式を求めよ．
(2) の長さの最小値を求めよ．
方針
点 (1,2) を通る直線を とおき，傾き m の符号と大きさによって，正方形のどの2辺と交わるかを分ける。区間内の線分の長さは x 座標の幅に を掛けて求められる。正の傾きでは ，負の傾きでは が最大を与え，それぞれ右上・右下の頂点を通る。最小は各場合の式から 4 以上であることを示し，水平線や鉛直線で実現する。
解答
点 を通る直線を，まず鉛直でないとして とおく。
(1)
の場合を考える。右側へ進むと， では右辺 に先に当たり， では上辺 に先に当たる。左側へ進むと， では左辺 に先に当たり， では下辺 に先に当たる。
したがって では，l は左右の辺を結び，長さは である。この範囲では m とともに増加するから，最大は のとき である。 では，l の x 座標の幅は 1+2/m であり，長さを L(m) とすると である。これを微分すると である。したがってこの範囲での最大は端点で起こる。端点の値は なので，この範囲でも最大は のときである。 では上下の辺を結び，長さは であり，m が大きくなるほど小さくなる。よって での最大は である。 の場合も同様に傾きの絶対値で場合分けすれば，最大は のときである。したがって最大値は で，それを与える直線は である。
(2)
上の各場合で長さが 4 以上であることを確認する。 では である。 では である。
残る では， とおくと長さ L は を満たす。上の微分計算と同じく， は で最小となる。このとき なので である。したがってこの範囲でも である。
よって鉛直でない任意の直線について l の長さは 4 以上である。一方，水平線 では正方形内の部分の長さが 4 である。また鉛直線 でも長さは 4 である。したがって最小値は である。