東北大学 2007年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

自然数 $n$ に対し，方程式 $\frac{1}{x ^{n}} - lo g x - \frac{1}{e} = 0$ を考える．ただし，対数は自然対数であり， $e$ はその底とする．

(1) 上の方程式は $x ≧ 1$ にただ一つの解をもつことを示せ．

(2) (1)の解を $x_{n}$ とする．このとき， $n \to \infty lim x_{n} = 1$ を示せ．

出典：東北大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

左辺を $h_{n} (x) = x^{- n} - lo g x - 1/ e$ とおく。 $x ≧ 1$ では導関数が常に負なので単調減少であり， $h_{n} (1) > 0$ ，無限遠で負になることから一意な解が存在する。(2)は単調性で $1 ≦ x_{n}$ を押さえたうえで，任意の $ε > 0$ に対して $h_{n} (1 + ε) < 0$ となることから $x_{n} < 1 + ε$ を示す。さらに，方程式から $x_{n}^{n} ≦ e$ を直接得る別解も使える。

解答

(1)

$h_{n} (x) = \frac{1}{x ^{n}} - lo g x - \frac{1}{e}$ とおく。 $x ≧ 1$ で微分すると $h_{n}^{'} (x) = - \frac{n}{x ^{n + 1}} - \frac{1}{x} < 0$ である。したがって $h_{n} (x)$ は $x ≧ 1$ で単調減少する。

また $h_{n} (1) = 1 - \frac{1}{e} > 0$ であり， $x \to \infty$ のとき $\frac{1}{x ^{n}} \to 0, lo g x \to \infty$ だから $h_{n} (x) \to - \infty$ である。よって中間値の定理により解は少なくとも1つ存在し，単調減少性により高々1つである。したがって，方程式は $x ≧ 1$ にただ一つの解をもつ。

(2)

(1)の解を $x_{n}$ とする。解は $x ≧ 1$ の範囲にあるので $1 ≦ x_{n}$ である。

任意に $ε > 0$ を取る。このとき

h_{n} (1 + ε) = \frac{1}{( 1 + ε ) ^{n}} - lo g (1 + ε) - \frac{1}{e}

であり， $n \to \infty$ とすると右辺は $- lo g (1 + ε) - \frac{1}{e} < 0$ に近づく。したがって十分大きい n では $h_{n} (1 + ε) < 0$ である。 $h_{n}$ は単調減少で $h_{n} (x_{n}) = 0$ だから $1 ≦ x_{n} < 1 + ε$ となる。 $ε > 0$ は任意なので $lim_{n \to \infty} x_{n} = 1$ である。

別解。方程式から $\frac{1}{x _{n}^{n}} = lo g x_{n} + \frac{1}{e}$ である。 $x_{n} ≧ 1$ より $lo g x_{n} ≧ 0$ だから $\frac{1}{x _{n}^{n}} ≧ \frac{1}{e}$ すなわち $x_{n} ≦ e^{1/ n}$ である。よって $1 ≦ x_{n} ≦ e^{1/ n}$ となり，はさみうちにより同じ結論を得る。

東北大学 2007年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2007年度
理系数学前期第3問