東北大学 2007年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

あるグループの各人が独立に一問のクイズに答え，グループの人数の半数以上が正解すればグループは合格とする．ただし，一人一人の正解する確率は $p$ で， $0 ≦ p ≦ 1$ とする．グループの人数が $2 n$ であるとき，グループが合格する確率を $a_{n} (p)$ とする．

(1) $a_{2} (p)$ は文字 $p$ についての多項式として $p^{2}$ で割り切れることを示せ．

(2) $a_{2} (p) ≧ a_{1} (p)$ となる $p$ の範囲を求めよ．

出典：東北大学 2007年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

方針

$a_{n} (p)$ は 2n 人中 n 人以上が正解する二項分布の確率である。 $a_{2} (p)$ は4人中2人以上の確率として展開すれば，各項に $p^{2}$ が含まれることがすぐに分かる。(2)では $a_{1} (p)$ と $a_{2} (p)$ を多項式として明示し，差 $a_{2} (p) - a_{1} (p)$ を因数分解する。 $0 ≦ p ≦ 1$ で p と $(p - 1)^{2}$ の符号を確認し，3p-2 の符号だけで範囲を決める。

解答

(1)

4人中2人以上が正解すれば合格である。したがって $a_{2} (p) =_{4} C_{2} p^{2} (1 - p)^{2} +_{4} C_{3} p^{3} (1 - p) + p^{4}$ である。右辺の各項は $p^{2}$ を因数にもつので， $a_{2} (p)$ は $p^{2}$ で割り切れる。

(2)

2人のグループでは，1人以上が正解すれば合格であるから $a_{1} (p) = 2 p (1 - p) + p^{2} = 2 p - p^{2}$ である。また(1)の式を整理すると $a_{2} (p) = 6 p^{2} (1 - p)^{2} + 4 p^{3} (1 - p) + p^{4} = p^{2} (3 p^{2} - 8 p + 6)$ である。したがって

a_{2} (p) - a_{1} (p) = p^{2} (3 p^{2} - 8 p + 6) - (2 p - p^{2}) = p (3 p^{3} - 8 p^{2} + 7 p - 2) = p (p - 1)^{2} (3 p - 2)

である。 $0 ≦ p ≦ 1$ では $p ≧ 0$ ， $(p - 1)^{2} ≧ 0$ であるから，符号は 3p-2 によって決まる。ただし $p = 0$ のとき差は 0 である。よって $a_{2} (p) ≧ a_{1} (p)$ となる範囲は $p = 0, \frac{2}{3} ≦ p ≦ 1$ である。

東北大学 2007年度後期・文系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2007年度
後期・文系数学後期第4問