問題
平面の3点，，を頂点とする三角形をとし，3点，，を頂点とする三角形をとする．点が内を動き，点が内を動くとき，で表される点の全体をとかく．
(1) のときの面積を求めよ．
(2) すべてのに対して，
を示せ．ただし，，，は，それぞれ，，の面積とする．
出典：東北大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第3問
方針
A+B は，A の点と B の点を足して得られる集合なので，2つの三角形の頂点和からできる凸多角形として考える。 では頂点を並べて四角形の面積を求める。一般の b では，横方向の長さがどちらの三角形で大きいかにより と で頂点の並びが変わる。それぞれ多角形の面積を出し，， を代入して，平方後の不等式を確認する。
解答
(1)
のとき，B の頂点は (0,0),(2,0),(0,1) である。A+B の外側の頂点は，頂点同士の和から となる。したがって A+B はこの4点を頂点にもつ四角形である。
頂点をこの順に並べて面積を求めると である。
(2)
まず である。 のとき，A+B の頂点は である。よって面積は である。この場合，示すべき不等式は両辺が非負なので，2乗して すなわち である。これは と同値であり， で成り立つ。 のとき，A+B の頂点は である。よって である。同様に2乗して整理すると，示すべきことは すなわち であり， で成り立つ。
以上より，すべての に対して が示された。