東北大学 2007年度
後期・文系数学 後期 第1問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 三角関数、方程式・不等式
- 解法
- 置換、不等式評価
- 難易度
- 4 / 10 計算量 3 / 10 目安 —
問題
次の問いに答えよ．
(1) sin3x+cos3x≦1を示せ．
(2) 0≦x<2πの範囲でsin3x+cos3x+sinx=2を満たすxを求めよ．
出典：東北大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第1問
方針
u=sinx+cosx と置き，sin3x+cos3x=(sinx+cosx)(1−sinxcosx) を u だけで表す。得られる式は u(3−u2)/2 であり，1 との差は (u−1)2(u+2)/2 になる。u の値域では u+2>0 なので不等式が従う。(2)は，三乗和の上限 1 と sinx の上限 1 が同時に等号になる必要があることから解を絞る。
解答
(1)
u=sinx+cosx とおく。このとき −2≦u≦2 であり，u2=1+2sinxcosx だから sinxcosx=2u2−1 である。よって
sin3x+cos3x=(sinx+cosx)(sin2x−sinxcosx+cos2x)=u(1−sinxcosx)=u(1−2u2−1)=2u(3−u2)
である。
したがって 1−(sin3x+cos3x)=1−2u(3−u2)=2(u−1)2(u+2) である。u≧−2 なので u+2>0 であり，右辺は 0 以上である。よって sin3x+cos3x≦1 が示された。
(2)
(1)より sin3x+cos3x≦1 であり，また sinx≦1 である。したがって sin3x+cos3x+sinx≦2 である。等号が成り立つには，両方の不等式で同時に等号が成り立つ必要がある。 sinx=1 となるのは，0≦x<2π で x=2π だけである。このとき cosx=0 なので sin3x+cos3x=1 も成り立つ。したがって求める解は x=2π である。
