東北大学 2007年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

図のような平行四辺形 $A B C D$ において $∠ A D B$ は直角とする． $D$ から線分 $A C$ に下ろした垂線と $A C$ との交点を $E$ とする． $A D = a$ ， $A B = b$ とおき， $∣ a ∣ = 1$ ， $∣ b ∣ = 13$ とする．

(1) 内積 $a \cdot b$ を求めよ．

(2) $D E$ を $a$ と $b$ で表せ．

出典：東北大学 2007年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

A を原点として，D の位置ベクトルを $a$ ，B の位置ベクトルを $b$ と見る。直角条件 $∠ A D B = 9 0^{\circ}$ は $D A \cdot D B = 0$ であり，ここから $a \cdot b$ を求める。E は AC 上の点なので $A E = s (a + b)$ と置き，DE⊥ AC の条件から s を決めて $D E$ に戻す。

解答

(1)

A を始点に取ると

A D = a, A B = b

である。したがって

D A = - a, D B = b - a

である。 $∠ A D B$ は直角なので $(- a) \cdot (b - a) = 0$ である。よって $- a \cdot b + ∣ a ∣^{2} = 0$ となる。 $∣ a ∣ = 1$ より $a \cdot b = 1$ である。

(2)

平行四辺形より $A C = a + b$ である。E は線分 AC 上にあるので $A E = s (a + b)$ とおく。すると

D E = A E - A D = s (a + b) - a

である。

DE⊥ AC より

{s (a + b) - a} \cdot (a + b) = 0

である。ここで(1)を用いると

∣ a + b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2} = 1 + 2 + 13 = 16

であり， $a \cdot (a + b) = 1 + 1 = 2$ である。したがって $16 s - 2 = 0$ より $s = \frac{1}{8}$ である。ゆえに

D E = \frac{1}{8} (a + b) - a = \frac{- 7 a + b}{8}

である。

東北大学 2007年度後期・文系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2007年度
後期・文系数学後期第2問