東北大学 2006年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

$E = (1001)$ ， $O = (0000)$ とし，実数を成分とする2次正方行列 $A = (a c b d)$ について以下の問に答えよ．

(1) $x = a + d$ として， $A^{2} = x A + y E$ を満たす実数 $y$ を求めよ．

(2) $A$ が $A^{3} = E$ かつ $A \neq = E$ を満たすことは， $A$ が $A^{2} + A + E = O$ を満たすことと同値であることを示せ．

(3) $A^{6} = E$ かつ $A^{2} \neq = E$ ならば， $A^{3} = E$ または $A^{3} = - E$ がなりたつことを示せ．

出典：東北大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

(1)は2次行列を直接2乗し， $A^{2} - (a + d) A$ が単位行列の定数倍になることを確かめる。(2)では (1) の形 $A^{2} = x A + y E$ を使って $A^{3}$ を $A, E$ の一次結合に直し， $A$ が単位行列の実数倍になる場合を除いて係数比較する。(3)も同じく $A^{6}$ を $A, E$ の一次結合に直し， $A^{2} \neq = E$ に反する場合を除外して $A^{2} \pm A + E = O$ に帰着する。

解答

(1)

A = (a c b d), x = a + d

とする。直接計算すると

A^{2} = (a^{2} + b c a c + c d ab + b d b c + d^{2})

であり，

x A = (a + d) (a c b d) = (a^{2} + a d a c + c d ab + b d a d + d^{2})

である。したがって

A^{2} - x A = (b c - a d 0 0 b c - a d) = (b c - a d) E

である。よって $y = b c - a d$ である。

(2)

(1)より $A^{2} = x A + y E$ と書ける。このとき

A^{3} = A (x A + y E) = x A^{2} + y A = x (x A + y E) + y A = (x^{2} + y) A + x y E

である。

まず $A^{3} = E$ かつ $A \neq = E$ とする。このとき $(x^{2} + y) A + x y E = E$ である。もし $x^{2} + y \neq = 0$ なら，この式から $A$ は $E$ の実数倍になる。すなわち $A = λ E$ と書ける。すると $A^{3} = E$ より $λ^{3} E = E$ なので，実数 $λ$ について $λ^{3} = 1$ となり， $λ = 1$ である。これは $A = E$ を意味し，仮定に反する。したがって $x^{2} + y = 0$ でなければならない。

このとき上の式は $x y E = E$ となるので $x y = 1$ である。 $y = - x^{2}$ を代入して $- x^{3} = 1$ より $x = - 1, y = - 1$ である。したがって $A^{2} = x A + y E = - A - E$ となり， $A^{2} + A + E = O$ を得る。

逆に $A^{2} + A + E = O$ とする。このとき $A = E$ なら左辺は $3 E$ となり零行列でないので， $A \neq = E$ である。また $(A - E) (A^{2} + A + E) = A^{3} - E$ であり，左辺は零行列だから $A^{3} = E$ である。よって $A^{3} = E かつ A \neq = E ⟺ A^{2} + A + E = O$ である。

(3)

再び $A^{2} = x A + y E$ とおく。この関係を繰り返し用いると $A^{6} = P A + QE$ と書け，計算すると $P = x (x^{2} + y) (x^{2} + 3 y)$ であり， $Q = x^{4} y + 3 x^{2} y^{2} + y^{3}$ である。実際， $A^{3} = (x^{2} + y) A + x y E$ から順に $A^{4}, A^{5}, A^{6}$ を $A, E$ の一次結合へ直せばこの式を得る。

いま $A^{6} = E$ なので $P A + (Q - 1) E = O$ である。もし $P \neq = 0$ なら $A$ は $E$ の実数倍になる。 $A = λ E$ と書くと， $A^{6} = E$ より $λ^{6} = 1$ である。実数 $λ$ では $λ = 1$ または $λ = - 1$ だから，いずれも $A^{2} = E$ となり，仮定 $A^{2} \neq = E$ に反する。したがって $P = 0, Q = 1$ である。 $P = x (x^{2} + y) (x^{2} + 3 y) = 0$ なので，次の3つを調べる。

まず $x = 0$ のとき， $Q = y^{3} = 1$ より $y = 1$ である。すると $A^{2} = E$ となり，仮定に反する。

次に $x^{2} + y = 0$ のとき， $y = - x^{2}$ である。このとき $Q = x^{6}$ となるので， $Q = 1$ より $x = 1 または x = - 1$ である。 $x = - 1$ なら $y = - 1$ で $A^{2} = - A - E$ だから $A^{2} + A + E = O$ である。よって(2)より $A^{3} = E$ である。 $x = 1$ なら $y = - 1$ で $A^{2} = A - E$ だから $A^{2} - A + E = O$ である。この両辺に $A + E$ を掛けると $(A + E) (A^{2} - A + E) = A^{3} + E = O$ となり， $A^{3} = - E$ である。

最後に $x^{2} + 3 y = 0$ のとき， $y = - x^{2} /3$ である。このとき $Q = - \frac{x ^{6}}{27}$ となり，これは実数 $x$ について $1$ になれない。したがってこの場合は不可能である。

以上より $A^{3} = E または A^{3} = - E$ が成り立つ。

東北大学 2006年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2006年度
後期・理系数学後期第6問