東北大学 2006年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$x y z$ 空間において半径が1で $x$ 軸を中心軸として原点から両側に無限に伸びている円柱 $C_{1}$ と，半径が1で $y$ 軸を中心軸として原点から両側に無限に伸びている円柱 $C_{2}$ がある． $C_{1}$ と $C_{2}$ の共通部分のうち $y ≦ \frac{1}{2}$ である部分を $K$ とおく．以下の問に答えよ．

(1) $u$ を $- 1 ≦ u ≦ 1$ を満たす実数とするとき，平面 $z = u$ による $K$ の切断面の面積を求めよ．

(2) $K$ の体積を求めよ．

出典：東北大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

平面 $z = u$ で切ると，2つの円柱条件は $x^{2} + u^{2} ≦ 1$ ， $y^{2} + u^{2} ≦ 1$ となり，断面は正方形 $- s ≦ x, y ≦ s$ に $y ≦ 1/2$ を加えた図形になる。ただし $s = 1 - u^{2}$ である。 $s ≦ 1/2$ なら切り取りは効かず， $s > 1/2$ なら上側を $y = 1/2$ で切る。この断面積を $u$ で積分して体積を求める。

解答

(1)

円柱 $C_{1}$ は $x$ 軸を中心軸とする半径1の円柱なので $y^{2} + z^{2} ≦ 1$ で表される。円柱 $C_{2}$ は $y$ 軸を中心軸とする半径1の円柱なので $x^{2} + z^{2} ≦ 1$ で表される。

平面 $z = u$ で切る。 $- 1 ≦ u ≦ 1$ とし $s = 1 - u^{2}$ とおくと，2つの円柱の条件は $- s ≦ x ≦ s, - s ≦ y ≦ s$ となる。さらに $K$ では $y ≦ \frac{1}{2}$ が加わる。

したがって断面は，横の長さが $2 s$ で，縦の範囲が $- s ≦ y ≦ min (s, \frac{1}{2})$ である長方形になる。 $s ≦ 1/2$ ，すなわち $1 - u^{2} ≦ \frac{1}{2}$ のときは $∣ u ∣ ≧ \frac{3}{2}$ であり， $y ≦ 1/2$ は断面を切らない。このとき断面積は $(2 s) (2 s) = 4 s^{2} = 4 (1 - u^{2})$ である。 $s ≧ 1/2$ ，すなわち $∣ u ∣ ≦ \frac{3}{2}$ のときは，縦の長さが $\frac{1}{2} - (- s) = s + \frac{1}{2}$ である。よって断面積は $2 s (s + \frac{1}{2}) = 2 s^{2} + s = 2 (1 - u^{2}) + 1 - u^{2}$ である。

以上より，求める断面積は

⎩ ⎨ ⎧ 2 (1 - u^{2}) + 1 - u^{2} 4 (1 - u^{2}) (∣ u ∣ ≦ \frac{3}{2}), (\frac{3}{2} ≦ ∣ u ∣ ≦ 1)

である。

(2)

断面積は $u$ の偶関数である。したがって体積 $V$ は

V = 2 \int_{0}^{3 /2} {2 (1 - u^{2}) + 1 - u^{2}} d u + 2 \int_{3 /2}^{1} 4 (1 - u^{2}) d u

である。

まず多項式部分を計算すると

2 \int_{0}^{3 /2} 2 (1 - u^{2}) d u = 4 [u - \frac{u ^{3}}{3}]_{0}^{3 /2} = \frac{3 3}{2}

である。また

2 \int_{3 /2}^{1} 4 (1 - u^{2}) d u = 8 [u - \frac{u ^{3}}{3}]_{3 /2}^{1} = \frac{16}{3} - 33

である。

残る円弧部分については， $y = 1 - u^{2}$ が単位円の上半分を表すことを用いる。 $0 ≦ u ≦ 3 /2$ の下の面積は，中心角 $π /3$ の扇形と直角三角形の面積から $\int_{0}^{3 /2} 1 - u^{2} d u = \frac{π}{6} + \frac{3}{8}$ である。したがって $2 \int_{0}^{3 /2} 1 - u^{2} d u = \frac{π}{3} + \frac{3}{4}$ である。

以上を足すと

V = \frac{3 3}{2} + (\frac{π}{3} + \frac{3}{4}) + (\frac{16}{3} - 33) = \frac{16}{3} + \frac{π}{3} - \frac{5 3}{4}

である。

東北大学 2006年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2006年度
後期・理系数学後期第5問