東北大学 2006年度
後期・理系数学 後期 第4問

解答

(1)

$f(x)=ax-(1+x)\log (1+x)-(1-x)\log (1-x)$ を微分する。まず $\frac{d}{dx}\{(1+x)\log (1+x)\}=\log (1+x)+1$ であり，また $\frac{d}{dx}\{(1-x)\log (1-x)\}=-\log (1-x)-1$ である。したがって

である。

さらに $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}=-\frac{2}{1-x^2}$ である。$-1<x<1$ では $1-x^2>0$ だから $f^{\prime \prime }(x)<0$ であり，特に $\boxed{f^{\prime \prime }(0)=-2<0}$ である。

(2)

(1)より $-1<x<1$ で常に $f^{\prime \prime }(x)<0$ である。したがって $f^{\prime }(x)$ は単調減少し，$f(x)$ の最大点は $f^{\prime }(x)=0$ を満たす点で一意に決まる。 $f^{\prime }(x)=0$ は $a+\log \frac{1-x}{1+x}=0$ である。よって $\log \frac{1-x}{1+x}=-a$ であり，$\frac{1-x}{1+x}=e^{-a}$ となる。これを解くと $1-x=e^{-a}(1+x)$ より $1-e^{-a}=x(1+e^{-a})$ である。したがって $x_0=\frac{1-e^{-a}}{1+e^{-a}}=\boxed{\frac{e^a-1}{e^a+1}}$ である。

(3)

以下では $a=1$ とする。このとき $f(0)=0$ であり，$f^{\prime }(0)=1+\log 1=1>0$ である。したがって $0$ のすぐ右側では $f(x)>0$ となる。

一方，$x\to 1-0$ とすると，$(1-x)\log (1-x)\to 0$ を用いて ${\lim }_{x\to 1-0}f(x)=1-2\log 2$ である。ここで $\log 2={\int }_1^2\frac{dt}{t}>{\int }_1^2\frac{dt}{2}=\frac{1}{2}$ だから $1-2\log 2<0$ である。よって $x$ が1に十分近いところでは $f(x)<0$ となる。 $f$ は $(0,1)$ で連続であり，0の右側で正，1の近くで負になる。したがって中間値の定理により，ある $0<x_1<1$ が存在して $\boxed{f(x_1)=0}$ となる。

(4)

$a=1$ のとき，(2)より最大点は $x_0=\frac{e-1}{e+1}$ である。また $f^{\prime \prime }(x)<0$ なのでグラフは全体に上に凸であり，$f^{\prime }(x)$ は単調減少する。したがって $-1<x<x_0$ で増加し，$x_0<x<1$ で減少する。

端での極限は ${\lim }_{x\to -1+0}f(x)=-1-2\log 2$ であり，${\lim }_{x\to 1-0}f(x)=1-2\log 2$ である。どちらも負である。さらに $f(0)=0,f^{\prime }(0)=1>0$ なので，グラフは原点を正の傾きで通り，$x_0$ で最大値をとった後，(3)の $x_1$ で再び $x$ 軸と交わり，右端では負の値 $1-2\log 2$ に近づく。

以上をまとめると，概形は「左端で $-1-2\log 2$ に近づきながら増加し，原点を通過し，$x_0=(e-1)/(e+1)$ で最大となり，その後減少して $x_1\in (0,1)$ で $x$ 軸を横切り，右端で $1-2\log 2$ に近づく上に凸な曲線」である。