東北大学 2005年度
理系数学 前期 第6問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 三角関数、微分
- 解法
- 置換、微分による最大最小、範囲評価
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 —
問題
aを0<a<1を満たす定数とし，f(x)=acosx+1cos2x−2とする．
(1) f(x)が0≦x≦πで減少関数となるaの範囲を求めよ．
(2) f(x)の0≦x≦πにおける最大値はf(0)であることを示せ．
出典：東北大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第6問
方針
u=cosx とおくと、0≦x≦π で u は1から −1 へ減少する。したがって f(x) が x について減少する条件は、g(u)=(2u2−3)/(au+1) が u について増加する条件になる。分母は 0<a<1 から常に正であり、g′(u) の符号は 2au2+4u+3a の符号で決まる。(2)は単調性に頼らず、任意の −1≦u≦1 に対して g(u)≦g(1) を2次式の端点評価で示す。
解答
(1)
u=cosx とおく。0≦x≦π で x が増加すると、u は1から −1 へ減少する。また cos2x=2cos2x−1=2u2−1 であるから f(x)=au+12u2−3 である。これを g(u)=au+12u2−3 とおく。0<a<1、−1≦u≦1 だから au+1≧1−a>0 である。 x が増加すると u は減少するので、f(x) が x について減少するためには、g(u) が u について増加すればよい。微分すると
g′(u)=(au+1)24u(au+1)−a(2u2−3)=(au+1)22au2+4u+3a
である。分母は正なので、必要十分条件は 2au2+4u+3a≧0(−1≦u≦1) である。 N(u)=2au2+4u+3a とおく。この2次式は上に開き、頂点の u 座標は −4a4=−a1 である。0<a<1 より −1/a<−1 なので、区間 [−1,1] では N(u) は増加する。したがって最小値は u=−1 でとり、N(−1)=2a−4+3a=5a−4 である。よって条件は 5a−4≧0 である。したがって求める範囲は 54≦a<1 である。
(2)
f(0) は u=cos0=1 のときの値なので f(0)=g(1)=a+12−3=−a+11 である。任意の −1≦u≦1 に対して g(u)≦g(1) を示せばよい。
分母 au+1 と a+1 はどちらも正であるから、au+12u2−3≦−a+11 は (a+1)(2u2−3)≦−(au+1) と同値である。整理すると 2(a+1)u2+au−3a−2≦0 である。
左辺を G(u)=2(a+1)u2+au−3a−2 とおく。これは下に開くのではなく上に開く2次式なので、閉区間 [−1,1] における最大値は端点のどちらかでとる。端点での値は G(1)=2(a+1)+a−3a−2=0 および G(−1)=2(a+1)−a−3a−2=−2a<0 である。したがって −1≦u≦1 で G(u)≦0 が成り立つ。これは g(u)≦g(1) を意味する。よって f(x)=g(cosx)≦g(1)=f(0) であり、0≦x≦π における最大値は f(0) である。
別解。
(2)の不等式は因数分解でも示せる。上で見たように、示すべきことは G(u)=2(a+1)u2+au−3a−2≦0(−1≦u≦1) である。ここで G(u)=(u−1){2(a+1)u+3a+2} と因数分解できる。−1≦u≦1 では u−1≦0 であり、また 2(a+1)u+3a+2≧−2(a+1)+3a+2=a>0 である。したがって G(u)≦0 となり、同じく f(x)≦f(0) が従う。
