東北大学 2005年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ を $a^{2} \neq = b^{2}$ を満たす0でない実数とし， $A_{n}$ を次の関係式で定まる2次の正方行列とする．

A_{1} = (00 a^{- 1} 0), A_{n + 1} (0 a a 0) + (0 b b 0) A_{n} = (10 0 - 1) (n = 1, 2, 3, \dots)

(1) 行列 $C = (x z y w)$ で $C (0 a a 0) + (0 b b 0) C = (10 0 - 1)$ を満たすものを求めよ．

(2) $A_{n}$ を $a$ ， $b$ ， $n$ で表せ．

(3) $n \to \infty$ のとき $A_{n}$ のすべての成分が収束するための条件を求めよ．

出典：東北大学 2005年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

まず(1)で、未知行列 $C = (x, y; z, w)$ を直接代入し、4つの成分を比較して定数解を求める。次に $D_{n} = A_{n} - C$ とおくと、右辺が0の漸化式 $D_{n + 1} M_{a} + M_{b} D_{n} = O$ になる。ここで $M_{a} = (0 a a 0)$ 、 $M_{b} = (0 b b 0)$ とおくと、 $D_{n + 1} = - (b / a) S D_{n} S$ となり、同じ操作を2回行うと $(b / a)^{2} D_{n}$ に戻る。奇数番目と偶数番目を分けて $A_{n}$ を表し、収束条件は $∣ b / a ∣ < 1$ で決まる。

解答

(1)

C = (x z y w)

とおく。また

M_{a} = (0 a a 0), M_{b} = (0 b b 0)

と書く。直接計算すると

C M_{a} = (a y a w a x a z), M_{b} C = (b z b x b w b y)

である。したがって

C M_{a} + M_{b} C = (a y + b z a w + b x a x + b w a z + b y)

である。これが

(10 0 - 1)

に等しいので $a y + b z = 1, a x + b w = 0, a w + b x = 0, a z + b y = - 1$ である。

中央の2式は

(a b b a) (x w) = (00)

である。 $a^{2} \neq = b^{2}$ より、この係数行列の行列式 $a^{2} - b^{2}$ は0でない。したがって $x = w = 0$ である。

残りの2式は

(a b b a) (y z) = (1 - 1)

である。2式を加えると $(a + b) (y + z) = 0$ であり、 $a^{2} \neq = b^{2}$ だから $a + b \neq = 0$ である。よって $y + z = 0$ である。つまり $z = - y$ であり、 $a y + b z = 1$ に代入すると $(a - b) y = 1$ となる。 $a - b \neq = 0$ なので $y = \frac{1}{a - b}, z = - \frac{1}{a - b}$ である。したがって

C = 0 - \frac{1}{a - b} \frac{1}{a - b} 0

である。

(2)

$D_{n} = A_{n} - C$ とおく。(1)より $C M_{a} + M_{b} C = (10 0 - 1)$ なので、もとの漸化式から $D_{n + 1} M_{a} + M_{b} D_{n} = O$ を得る。ここで

M_{a}^{- 1} = (0 1/ a 1/ a 0)

であるから $D_{n + 1} = - M_{b} D_{n} M_{a}^{- 1}$ である。

S = (0110)

とおくと、 $M_{b} = b S$ 、 $M_{a}^{- 1} = (1/ a) S$ である。したがって $D_{n + 1} = - \frac{b}{a} S D_{n} S$ である。同じ操作をもう一度行うと、 $S^{2} = I$ より $D_{n + 2} = (\frac{b}{a})^{2} D_{n}$ である。

初項は

A_{1} = (00 1/ a 0)

なので

D_{1} = A_{1} - C = 0 \frac{1}{a - b} - \frac{b}{a ( a - b )} 0

である。また

D_{2} = - \frac{b}{a} S D_{1} S = 0 \frac{b ^{2}}{a ^{2} ( a - b )} - \frac{b}{a ( a - b )} 0

である。

よって $r = 0, 1, 2, \dots$ に対して

A_{2 r + 1} = C + (\frac{b}{a})^{2 r} 0 \frac{1}{a - b} - \frac{b}{a ( a - b )} 0

であり、 $r = 1, 2, 3, \dots$ に対して

A_{2 r} = C + (\frac{b}{a})^{2 r - 2} 0 \frac{b ^{2}}{a ^{2} ( a - b )} - \frac{b}{a ( a - b )} 0

である。

(3)

(2)の式を見ると、 $A_{n}$ の成分が収束するかどうかは $(\frac{b}{a})^{2 r}$ および $(\frac{b}{a})^{2 r - 2}$ が収束するかどうかで決まる。 $a^{2} \neq = b^{2}$ より $∣ b / a ∣ = 1$ は起こらない。 $∣ b / a ∣ < 1$ なら、これらの項は0に収束し、 $A_{n}$ は奇数番目・偶数番目ともに $C$ へ近づく。したがってすべての成分が収束する。

一方、 $∣ b / a ∣ > 1$ なら、 $D_{1}$ は零行列でないため、少なくとも一部の成分は大きさが無限に大きくなり、収束しない。よって必要十分条件は $\frac{b}{a} < 1$ すなわち $∣ b ∣ < ∣ a ∣$ である。

東北大学 2005年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2005年度
理系数学前期第5問