問題
1からまでの数字を1つずつ書いた枚のカードが箱に入っている．この箱から無作為にカードを1枚取り出して数字を記録し，箱に戻すという操作を繰り返す．ただし，回目の操作で直前のカードと同じ数字か直前のカードよりも小さい数字のカードを取り出した場合に，を得点として終了する．
(1) を満たす自然数について，得点がとなる確率を求めよ．
(2) 得点の期待値をで表した式をとするとき，および極限値を求めよ．
方針
得点が になるのは、最初の 回で記録された数が狭義に増加し、 回目に直前以下の数が出るときである。最大値を固定して数えると、 通りに整理できる。期待値は分布から直接和を取るよりも、非負整数値の期待値公式 を使うのが簡潔である。 は最初の 回が狭義増加することと同値なので、 が現れる。
解答
(1)
得点が になるには、 回目で初めて「直前のカードと同じ数字か、直前のカードよりも小さい数字」が出ればよい。したがって、最初の 回の記録は狭義に増加し、 回目の記録は 回目の記録以下である。
最初の 回の最大値、すなわち 回目の記録を とする。狭義増加であるから である。最初の 個の数字は、 から 個を選べば、増加順にただ1通りに並ぶ。よって選び方は 通りである。
さらに 回目には 以下の数字が出れば終了するので、その選び方は 通りである。したがって有利な記録列の数は である。ここで だから
である。全事象は 回分の記録として 通りなので、求める確率は である。
(2)
得点を とする。 とは、少なくとも 回目までは終了しないということである。これは、最初の 回の記録が狭義に増加することと同値である。 個の数字が狭義増加する記録列は、 から 個を選べば増加順にただ1通りに決まる。したがって である。なお ではこの式は1を表し、 では狭義増加は不可能である。
正の整数値をとる確率変数について が成り立つので、
である。したがって であり、よく知られた極限より である。