東北大学 2005年度
理系数学 前期 第4問

解答

右側、すなわち $x>0$ の枝 $y=x^2-x+\frac{3}{4}$ との接点の $x$ 座標を $p$ とする。また左側、すなわち $x\leqq 0$ の枝 $y=x^2+2x+\frac{3}{4}$ との接点の $x$ 座標を $q$ とする。

右側の接点では、値と微分係数が等しいので $2ap+b=2p-1$ かつ $a{p}^2+bp+c=p^2-p+\frac{3}{4}$ である。左側の接点では $2aq+b=2q+2$ かつ $a{q}^2+bq+c=q^2+2q+\frac{3}{4}$ である。

まず傾きの2式を引くと $2a(p-q)=2(p-q)-3$ である。したがって $2(a-1)(p-q)=-3$ より $p-q=-\frac{3}{2(a-1)}=\frac{3}{2(1-a)}$ である。また傾きの2式から $b=2p-1-2ap=2(1-a)p-1$ であり、同時に $b=2q+2-2aq=2(1-a)q+2$ である。これらを合わせると $2(1-a)(p-q)=3$ となり、上と一致する。さらに $2(1-a)p-1=2(1-a)q+2$ から $p+q=0$ が分かる。よって $p=\frac{3}{4(1-a)},q=-\frac{3}{4(1-a)}$ である。

傾きの式に代入すると $b=2(1-a)p-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$ である。値の一致式から $c=p^2-p+\frac{3}{4}-a{p}^2-bp=(1-a)p^2-\frac{3}{2}p+\frac{3}{4}$ であり、$p=3/\{4(1-a)\}$ を代入して $c=\frac{3(4a-1)}{16(a-1)}$ を得る。

次に面積を求める。右側では、$C_2-C_1$ は2次式で、接点 $x=p$ で重解をもつ。また $x^2$ の係数は $1-a$ である。したがって $C_2-C_1=(1-a)(x-p{)}^2(0\leqq x\leqq p)$ である。同様に左側では $C_2-C_1=(1-a)(x-q{)}^2(q\leqq x\leqq 0)$ である。ここで $a<0$ なので $1-a>0$ であり、これらは面積の被積分関数としてそのまま使える。

したがって囲まれた図形の面積 $S$ は $S={\int }_q^0(1-a)(x-q{)}^{2}dx+{\int }_0^p(1-a)(x-p{)}^{2}dx$ である。$q=-p$ だから $S=2(1-a){\int }_0^p(p-x{)}^{2}dx$ であり、$S=2(1-a)\cdot \frac{p^3}{3}$ となる。$p=3/\{4(1-a)\}$ を代入して $S=\frac{2(1-a)}{3}\cdot \frac{27}{64(1-a{)}^3}=\frac{9}{32(1-a{)}^2}$ である。よって $\boxed{S=\frac{9}{32(1-a{)}^2}}$ である。