問題
三角形の辺上の点と辺上の点とを結ぶ線分上に，三角形の重心がある．のとき，以下の問いに答えよ．
(1) とを求めよ．
(2) を辺の中心とする．直線と直線の交点をとするときを求めよ．
出典：東北大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第4問
方針
を原点にし、、 と置く。 と をそれぞれ 、 と表し、 から と書く。一方、重心は なので係数比較で 、 を求める。(2)は とし、直線 上の点が 上に来る条件を の係数0として解く。
解答
(1)
点 を原点とし、
とおく。点 は辺 上にあり、点 は辺 上にあるので
とおける。ただし 、 である。 は線分 上にあり、 である。したがって、内分点の公式より
である。
一方、 は三角形 の重心なので である。 と の係数を比較して を得る。よって である。
したがって であり、 である。よって である。
(2)
は辺 の中点なので である。また である。直線 上の点は、実数 を用いて と表せる。これを計算すると
である。
この点が直線 上にあるためには、 の係数が0であればよい。したがって より である。このとき の係数は である。よって となり、 は の外側にあって である。したがって である。