問題
を0でない実数とする．放物線上の点で，点からの距離が最小の点を考える．
(1) このような点が2つ存在するためのの範囲を求めよ．
(2) は(1)で求めた範囲にあるとし，からの距離が最小の2点を，とする．このとき線分，線分および放物線で囲まれる図形の面積を求めよ．
出典：東北大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第1問
方針
放物線上の点を とおき、点 からの距離の2乗 を最小化する。距離そのものではなく2乗を扱うと微分が容易で、 となる。最小点が2つあるには が現れる必要がある。面積は対称性を使い、右半分で直線 と放物線 の差を積分して2倍する。
解答
(1)
放物線 上の点を とおく。この点と との距離の2乗を とおく。距離を最小にする点は、距離の2乗 を最小にする点と同じである。
微分すると である。したがって停留点は または を満たす点である。 のとき、 は実数解をもたず、停留点は だけである。この場合、最小点は1つである。 のときは として、停留点は である。このとき は極大側の点で、 が対称な2つの最小点になる。実際、 が大きいと であり、 の符号は
と変わる。
したがって、このような点が2つ存在するための条件は である。
(2)
とおくと、2つの最小点は である。ただし である。
右側の線分 の方程式を求める。、 だから、傾きは である。したがって である。
図形は 軸に関して対称なので、求める面積は右半分を2倍して である。計算すると
である。ここで だから
である。
よって面積は
である。したがって である。