問題
とし，原点を通る傾きの直線をとする．に原点で接するような放物線を考える．
(1) をとで表せ．
(2) と原点で垂直に交わる直線をとする．放物線ととの原点以外の交点の座標をとで表せ．
出典：東北大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第2問
方針
放物線 が原点で直線 に接するので、原点を通る条件 と、原点での微分係数が である条件 を使う。これにより と を で表せる。垂線 は であり、放物線との交点方程式は を根にもつので、もう一つの根だけを取り出す。
解答
(1)
放物線 が原点を通るので である。また、この放物線の導関数は であるから、原点での接線の傾きは である。直線 の傾きは なので である。 より であり、 となる。これを に代入して である。したがって である。
(2)
直線 に原点で垂直に交わる直線は である。一方、(1)より放物線は である。展開すると である。
したがって との交点は を満たす。両辺を整理して である。これは と書ける。
一つの解 は原点である。原点以外の交点では だから である。 上の点なので である。したがって求める交点は である。