問題
中の見えない袋に12個の玉が入っていて，そのうち3個が赤で残りが白とする．君と君が交互に1個ずつ玉を取り出して，先に赤の玉を取り出した方が勝ちとする．取り出した玉は袋には戻さないとする．君が先に取り始めるとき，君が勝つ確率を求めよ．
出典：東北大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第3問
方針
玉を実際に区別して並べるのではなく、12回の取り出し順の中で赤玉が現れる3つの位置だけに注目する。3つの位置は 通りが等確率である。 君が勝つのは、最初に現れる赤玉の位置が偶数番目のときである。最初の赤玉が 番目にあるとして、残り2個の赤玉の位置をその後ろから選ぶ。
解答
12個の玉を取り出す順番を最初から最後まで考える。このとき、赤玉が現れる3つの位置だけに注目すればよい。赤玉の位置の選び方は 通りであり、どれも同様に確からしい。 君は1番目、3番目、5番目、 に取り出し、 君は2番目、4番目、6番目、 に取り出す。したがって 君が勝つのは、最初の赤玉が偶数番目に現れるときである。
最初の赤玉が 番目に現れるとする。このとき、 番目より前には赤玉がなく、残り2個の赤玉は の中から選ばれる。したがって、その選び方は 通りである。 としてよいが、 の項は である。
有利な場合の数は
である。これを計算すると である。よって求める確率は である。したがって である。