問題
，，の3人でじゃんけんをする．一度じゃんけんで負けたものは，以後のじゃんけんから抜ける．残りが1人になるまでじゃんけんを繰り返し，最後に残ったものを勝者とする．ただし，あいこの場合も1回のじゃんけんを行ったと数える．
(1) 1回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ．
(2) 2回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ．
(3) 3回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ．
(4) とする．回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ．
方針
3人でじゃんけんしている状態と2人でじゃんけんしている状態に分ける。3人状態の1回では、勝者が即決する場合、1人だけ脱落して2人状態になる場合、あいこで3人状態のままの場合がそれぞれ である。2人状態では、あいこでなければ決着するので決着確率は である。(4) は 回目直前の3人状態・2人状態の確率を求め、そこで決着する確率を掛けて足す。
解答
(1)
3人で1回じゃんけんをする。全事象は 通りである。1回目で勝者が決まるのは、1人だけが勝つ場合、すなわち同じ手を出した2人が負け、残り1人が勝つ場合である。勝つ手の種類が3通り、勝つ人の選び方が3通りあるので 通りである。したがって確率は である。
(2)
1回目で勝者が決まらず、2回目で決まる場合を考える。1回目の後に3人のまま残る、つまりあいこになる確率は である。また1回目に1人だけが負けて2人状態になる確率も である。
2回目で決まる確率は、3人状態からなら 、2人状態からならあいこでない確率 である。よって である。
(3)
3回目の直前に3人状態である確率は、最初の2回とも3人のあいこである確率なので である。3回目の直前に2人状態である確率は、1回だけ3人状態から2人状態へ移り、その後は2人であいこをしている場合である。これは である。したがって3回目で決まる確率は
である。
(4)
とする。 回目の直前に3人状態である確率は、最初の 回がすべて3人のあいこである確率なので である。
次に、 回目の直前に2人状態である確率を求める。最初の 回は3人のあいこ、 回目で1人が脱落し、その後 回は2人であいこ、という形になる。各確率はいずれも なので、 のどの場合も確率は である。よって2人状態である確率は である。
したがって、 回目で勝者が決まる確率は
である。
別解。3人状態を 、2人状態を として、各回の直前の確率を漸化式で求めてもよい。 は毎回 倍され、 は「3人から移る分」と「2人であいこの分」を受け取る。この漸化式を解くと、直前確率 、 となり、同じ式が得られる。