東北大学 2004年度文系数学前期第2問解答・解説

問題

四角形 $O A B C$ は辺 $O A$ を下底，辺 $C B$ を上底とし， $∠ A O C$ と $∠ O A B$ が等しい等脚台形である．
$a = ∣ O A ∣$ ， $c = ∣ O C ∣$ ， $m = O A \cdot O C$ とおく．

(1) $m < \frac{a ^{2}}{2}$ がなりたつことを示せ．

(2) 等脚台形 $O A B C$ の面積 $S$ を $a$ ， $c$ ， $m$ を用いて表せ．

(3) 対角線 $O B$ と $A C$ の交点を $D$ とするとき， $O D$ を $O A$ ， $O C$ を用いて表せ．

出典：東北大学 2004年度前期日程第2次学力試験文系前期第2問

方針

$O A$ 方向を基準に、 $O C$ を下底方向の成分と高さ成分に分ける。等脚台形では左右の斜辺の水平成分が等しいため、上底 $C B$ の長さは $a - 2 m / a$ になる。面積は台形の公式で、対角線の交点は $O B$ 上の表示と $A C$ 上の表示を係数比較して求める。分母 $a^{2} - m$ が正であることも (1) から確認する。

解答

(1)

$O A$ の長さは $a$ なので、 $O A$ 方向の単位ベクトルを $e$ とすると $e = \frac{O A}{a}$ である。 $O C$ の $O A$ 方向の成分は $O C \cdot e = \frac{m}{a}$ である。

等脚台形では、点 $C$ と点 $B$ は下底 $O A$ に対して左右対称にずれ、上底 $C B$ は下底 $O A$ と平行である。したがって上底の長さは、下底の長さ $a$ から、左右の水平成分 $m / a$ を2つ引いた $a - \frac{2 m}{a}$ である。台形として上底の長さは正だから $a - \frac{2 m}{a} > 0$ である。 $a > 0$ より $m < \frac{a ^{2}}{2}$ が成り立つ。

(2)

高さは、 $O C$ から $O A$ 方向成分を除いた長さである。したがって $h = c^{2} - (\frac{m}{a})^{2} = \frac{a ^{2} c ^{2} - m ^{2}}{a}$ である。下底は $a$ 、上底は $a - 2 m / a$ なので、台形の面積は

S = \frac{1}{2} (a + a - \frac{2 m}{a}) \cdot \frac{a ^{2} c ^{2} - m ^{2}}{a} = \frac{a ^{2} - m}{a ^{2}} a^{2} c^{2} - m^{2} .

(3)

上底 $C B$ は $O A$ と平行であり、その長さは $a - 2 m / a$ である。したがって $C B = (1 - \frac{2 m}{a ^{2}}) O A$ であるから、

O B = O C + (1 - \frac{2 m}{a ^{2}}) O A

である。

点 $D$ は対角線 $O B$ 上にあるので、ある実数 $λ$ を用いて

O D = λ O B = λ (1 - \frac{2 m}{a ^{2}}) O A + λ O C

と書ける。一方、 $D$ は対角線 $A C$ 上にもあるので、ある実数 $μ$ を用いて $O D = (1 - μ) O A + μ O C$ と書ける。係数を比較すると $λ = μ, λ (1 - \frac{2 m}{a ^{2}}) = 1 - λ$ である。これを解くと $λ = \frac{a ^{2}}{2 ( a ^{2} - m )}$ である。したがって

O D = \frac{a ^{2} - 2 m}{2 ( a ^{2} - m )} O A + \frac{a ^{2}}{2 ( a ^{2} - m )} O C

である。

東北大学 2004年度文系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2004年度
文系数学前期第2問