問題
曲線と直線があり，曲線がと接している．との2つの交点を結ぶ線分上にとの接点があるとき，以下の問いに答えよ．
(1) をで表し，の取り得る値の範囲を求めよ．
(2) 2つの曲線とによって囲まれる図形の面積を求めよ．
(3) が動くとき，(2)の面積の最大値と最小値を求めよ．
方針
(1) は放物線 と直線 の接点を と置き、傾きの一致から を出す。接点が と の交点を結ぶ線分上にある条件は、 上での 座標が から の間にあることに直す。(2) は を2次式として整理し、2曲線の交点間で正になることを確認して積分する。根の差を用いると、面積は2次式の最大値の 乗で表せる。(3) は が の増減だけで決まることを使い、許された閉区間で最大・最小を調べる。
解答
(1)
曲線 が直線 と接するとする。接点の 座標を とおくと、 の傾きは である。直線 の傾きは なので、接するためには でなければならない。よって である。
接点は 上にも 上にもあるから、 である。ここで を代入すると となり、 である。
次に と の交点を求める。 より なので、交点の 座標は である。接点は直線 上にあり、その 座標は だから、線分上にある条件は である。したがって である。
(2)
(1) より であるから、 である。したがって
平方完成すると である。ここで とおくと、交点間では である。また、(1) の範囲では である。交点は だから、 とおいて面積を計算すると
よって である。
(3)
であり、 は が大きいほど大きい。 は上に凸の2次関数で、頂点は である。これは許された範囲 に含まれるので、最大は のときである。このとき だから である。
最小は区間の端で起こる。両端で だから、 である。
別解。2曲線の差を の形で見てもよい。今回は差が上に凸ではなく下に開く2次式なので、交点間の面積は「高さ と根の間隔」で決まり、上と同じ 型になる。根を直接最後まで展開するより、平方完成で中心と高さを押さえる方が計算が安定する。