問題
複素数，が条件を満たしている．ただし，，である．の実部，虚部をそれぞれ，とし，の実部，虚部をそれぞれ，とする．
(1) をとで表せ．
(2) ならば，であることを示せ．
(3) ，，かつの実部が1となるようなを求め，を用いて表せ．
出典：東北大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
与式の分母を通分して、まず を得る。これを平方完成すると となり、 の実部・虚部で表せる。(2) は のとき右辺が負の実数になることから が純虚数であると読む。(3) は の実部が1という条件で が純虚数になるため、その平方根を明示して を求める。
解答
(1)
与えられた式を通分すると
である。したがって であり、 だから すなわち である。平方完成すると である。
ここで とすれば であるから、 である。
(2)
とする。このとき は純虚数であり、(1) より である。右辺は負の実数であるから、 は純虚数である。実際、 が負の実数となるには、 が必要である。 も純虚数で、 も純虚数なので、 も純虚数である。したがって の実部は である。
(3)
の実部が なので である。、 より であり、特に である。
(1) の式はこの条件のもとで となる。 だから、 である。したがって実部を比べると である。 を代入して である。
別解。(3) は から偏角で考えてもよい。右辺は正の純虚数なので、 の偏角は または である。したがって実部と虚部の増分が同じ絶対値になり、主解と同じ が得られる。