問題
四面体において，，，とおく．線分，，，，，の中点をそれぞれ，，，，，，とし，，，とおく．
(1) 線分，，は1点で交わることを示せ．
(2) ，，を，，を用いて表せ．
(3) 直線，，が互いに直交するとする．をとなる空間の点とするとき，四面体XABCの体積を，，を用いて表せ．
出典：東北大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
各中点の位置ベクトルを で表し、そこから を求める。(1)は3本の線分の中点が同じ位置ベクトルをもつことを示せばよい。(2)は の3本の連立式を加減して を解く。(3)は なので、点 から見た への3辺がそれぞれ になることを使う。
解答
以下、位置ベクトルを簡単に と書く。
中点の位置ベクトルは である。したがって
である。
(1)
線分 の中点の位置ベクトルは である。同様に、線分 の中点は であり、線分 の中点も である。
よって3本の線分 は、いずれも同じ点 を中点として通る。したがって3線分は1点で交わる。
(2)
上で得た式 を加減する。第2式と第3式を加えると であるから である。同様に となる。したがって である。
(3)
であるから、点 の位置ベクトルは である。したがって点 から見た3点 へのベクトルは である。
直線 が互いに直交するので、 も互いに直交する。よって四面体 は、点 から出る3辺が互いに直交する四面体である。したがって体積は直方体の で である。