問題
放物線が，3点，，を頂点とする三角形と交わるような実数の範囲を求めよ．
出典：東北大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
三角形を不等式 で表す。放物線上の点がこの領域に入る条件は、ある について が成り立つこと。固定した に対する の区間を出し、 でそれらの和集合を調べる。
解答
三角形の内部および周は で表される。放物線は であるから、三角形と交わるための条件は、ある が存在して をみたすことである。
これは と同値である。したがって固定した に対して、 は をみたす。よって または である。
まず左側の区間を調べる。 で は から まで増加し、 も から まで増加する。各 で区間は連続して動き、重なりながら進むので、和集合は である。
次に右側の区間では は から3まで増加し、 も2から3まで増加する。したがって和集合は である。
以上より求める範囲は である。