東北大学 2001年度
文系数学 前期 第1問

解答

共通接線を $y=mx+n$ とおく。

まず $C:y=-(x+1{)}^2$ に接する条件を求める。交点の $x$ 座標は $-(x+1{)}^2=mx+n$ すなわち $x^2+(m+2)x+(n+1)=0$ をみたす。この2次方程式が重解をもてば接するので $(m+2{)}^2-4(n+1)=0$ である。

次に $D:y=(x-1{)}^2+1$ については $(x-1{)}^2+1=mx+n$ すなわち $x^2-(m+2)x+(2-n)=0$ が重解をもてばよい。したがって $(m+2{)}^2-4(2-n)=0$ である。

2つの条件を連立すると $4(n+1)=4(2-n)$ より $n=\frac{1}{2}$ であり、さらに $(m+2{)}^2=6$ だから $m=-2\pm \sqrt{6}$ である。よって2本の共通接線は $\boxed{y=(-2+\sqrt{6})x+\frac{1}{2},y=(-2-\sqrt{6})x+\frac{1}{2}}$ である。

次に面積を求める。2本の接線は点 $(0,1/2)$ で交わる。$C$ との接点の $x$ 座標は、$C$ の接線の傾きが $-2(x+1)$ であることから $-2(x+1)=-2+\sqrt{6}\Rightarrow x=-\frac{\sqrt{6}}{2}$ および $-2(x+1)=-2-\sqrt{6}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{6}}{2}$ である。

したがって、求める領域では左側 $-\sqrt{6}/2\leqq x\leqq 0$ の上側が傾き $-2+\sqrt{6}$ の接線、右側 $0\leqq x\leqq \sqrt{6}/2$ の上側が傾き $-2-\sqrt{6}$ の接線である。よって面積 $S$ は

ここで第1の被積分関数は $x^2+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}$ 第2の被積分関数は $x^2-\sqrt{6}x+\frac{3}{2}$ である。対称性を用いれば $S=2{\int }_0^{\sqrt{6}/2}\left(x^2-\sqrt{6}x+\frac{3}{2}\right)dx$ である。計算すると

となる。したがって面積は $\boxed{\frac{\sqrt{6}}{2}}$ である。