問題
袋の中に赤の玉と白の玉が合計4個入っている．1回の試行では袋から1個の玉を無作為に取り出し，それが白であれば袋に戻し，赤の玉の場合は戻さずに別に用意した白の玉1個を袋に入れる．
(1) 最初は赤の玉と白の玉が2個ずつであるとして，3回以下の試行で袋の中が白の玉4個となる確率を求めよ．
(2) 最初は赤の玉が3個，白の玉が1個であるとして，5回以下の試行で袋の中が白の玉4個となる確率を求めよ．
方針
赤玉の個数を状態として見る。赤玉が 個のとき、次の試行で赤玉が1個減る確率は 、変わらない確率は である。(1)は状態2から3回以内に状態0へ到達する確率、(2)は状態3から5回以内に状態0へ到達する確率を、到達時刻または状態遷移で数える。
解答
赤玉の個数だけに注目する。赤玉が 個あるとき、1回の試行で赤玉を引く確率は であり、このとき赤玉は1個減る。白玉を引く確率は であり、このとき赤玉の個数は変わらない。
(1)
最初は赤玉が2個である。白玉4個になるには、残っている2個の赤玉をともに引けばよい。
2回で終わる確率は である。
3回目で初めて終わる場合は、最初の2回のうち1回だけ白玉を引き、もう1回で赤玉を1個引き、3回目に最後の赤玉を引く。白玉を引く位置で分けると、
である。したがって、3回以下で白玉4個になる確率は である。
(2)
最初は赤玉が3個である。白玉4個になるには、赤玉を3回引く必要がある。赤玉の個数が3,2,1の段階で赤玉を引く確率はそれぞれ である。
3回の赤玉を引く前に出る白玉の回数を、それぞれ とする。5回以下で終わるには、赤玉3回のほかに出る白玉が高々2回であるから である。基礎となる赤玉3回の確率は であり、白玉が第1段階、第2段階、第3段階で1回出るごとに、それぞれ が掛かる。
よって求める確率は
である。この和を、白玉の総数で分けて計算すると、
である。したがって である。
別解。状態遷移で確認することもできる。 回後に赤玉が 個である確率を とおくと、 である。状態2から始めると だから となり、(1)と一致する。状態3から始めて同じ漸化式を5回まで進めても、 が得られる。待ち時間の方法は、この状態遷移のうち成功までの白玉の入り方だけをまとめて数えたものである。