問題
を底面が半径2の円で高さが6の直円錐（すい）とし，これを空間に頂点が原点で底面の中心がとなるようにおく．の表面のうち底面と頂点以外の部分を側面と呼ぶ．
(1) をの側面の点とする．から線分におろした垂線の長さを，で表せ．
(2) ををみたす定数とする．がの表面かまたは内部の点であることを表すとによる不等式を求めよ．
出典：東北大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第6問
方針
円錐の軸 の単位ベクトルを作り、点を軸方向成分と軸に垂直な成分に分ける。側面上では、軸からの距離が軸方向の距離の になるので、(1)は軸方向成分から垂線の長さを表せる。(2)では平面 上の点 について、軸からの距離の2乗と軸方向の長さを計算し、円錐の内部条件「距離 軸方向長の1/3」を不等式に整理する。
解答
(1)
円錐の軸は線分 である。ここで だから であり、軸方向の単位ベクトルは である。
点 の軸方向の長さは である。円錐は高さ6で底面の半径が2なので、側面上では、軸からの距離は軸方向の長さの である。したがって、 から線分 に下ろした垂線の長さは である。
(2)
平面 上の点を とする。ただしここでの は問題文の定数で、 である。
この点の軸方向の長さは である。また、点 から軸 までの距離の2乗は、全体の長さの2乗から軸方向成分の2乗を引けばよいので
円錐の内部または表面にあるためには、軸からの距離が、軸方向の長さの 以下であればよい。したがって
である。
これを整理する。両辺に18を掛けると である。展開して となるので である。これが、 が円錐 の表面または内部にあることを表す不等式である。