東北大学 1999年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ が

a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{2 n}{2 n + 3} a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

によって定義されている．数列 ${b_{n}}$ が，ある定数 $c$ により $b_{n} = (n + c) a_{n}$ で定義され， $b_{n + 1} - b_{n} = p a_{n}$ をみたすとする．

(1) 定数 $c$ ， $p$ の値を求めよ．

(2) $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ を $n$ を用いて表せ．

(3) $b_{n} ≦ \frac{3}{2 n}$ であることを証明せよ．

(4) $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots\dots + a_{n}$ とするとき， $n \to \infty lim S_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

まず $b_{n} = (n + c) a_{n}$ を漸化式に代入し、 $b_{n + 1} - b_{n}$ が $a_{n}$ の定数倍になるように $c$ を決める。(2)では決まった $b_{n}$ の比を直接計算する。(3)は $b_{n + 1} / b_{n} = 2 n / (2 n + 1)$ を $n / (n + 1)$ で上から評価し、積をとって示す。(4)は(1)の階差式 $b_{n + 1} - b_{n} = - a_{n} /2$ を和にして $S_{n} = 2 (b_{1} - b_{n + 1})$ とし、(3)から $b_{n} \to 0$ を使う。

解答

(1)

$b_{n} = (n + c) a_{n}$ であり、 $a_{n + 1} = \frac{2 n}{2 n + 3} a_{n}$ だから

b_{n + 1} - b_{n} = (n + 1 + c) a_{n + 1} - (n + c) a_{n} = (n + 1 + c) \frac{2 n}{2 n + 3} a_{n} - (n + c) a_{n} = \frac{2 n ( n + 1 + c ) - ( n + c ) ( 2 n + 3 )}{2 n + 3} a_{n} = - \frac{n + 3 c}{2 n + 3} a_{n} .

これがすべての $n$ で $p a_{n}$ に等しいためには $\frac{n + 3 c}{2 n + 3}$ が $n$ によらない定数でなければならない。そこで $n + 3 c = λ (2 n + 3)$ とおくと、係数比較より $1 = 2 λ, 3 c = 3 λ$ である。したがって $λ = \frac{1}{2}, c = \frac{1}{2}$ である。このとき $b_{n + 1} - b_{n} = - \frac{1}{2} a_{n}$ だから $c = \frac{1}{2}, p = - \frac{1}{2}$ である。

(2)

$b_{n} = (n + \frac{1}{2}) a_{n}$ であるから

\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{n + \frac{3}{2}}{n + \frac{1}{2}} \cdot \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{n + \frac{3}{2}}{n + \frac{1}{2}} \cdot \frac{2 n}{2 n + 3} = \frac{2 n + 3}{2 n + 1} \cdot \frac{2 n}{2 n + 3} = \frac{2 n}{2 n + 1} .

(3)

$b_{1} = (1 + 1/2) a_{1} = 3/2$ である。また(2)より $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{2 n}{2 n + 1}$ である。ここで $(\frac{2 n}{2 n + 1})^{2} ≦ \frac{n}{n + 1}$ を確認する。両辺は正であり、両辺に $(2 n + 1)^{2} (n + 1)$ を掛けると $4 n^{2} (n + 1) ≦ n (2 n + 1)^{2}$ すなわち $4 n^{3} + 4 n^{2} ≦ 4 n^{3} + 4 n^{2} + n$ となり、これは明らかに成り立つ。したがって $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} ≦ \frac{n}{n + 1}$ である。

これを $1, 2, \dots, n - 1$ について掛けると

\frac{b _{n}}{b _{1}} ≦ \frac{1}{2} \frac{2}{3} \dots \frac{n - 1}{n} = \frac{1}{n}

である。よって $b_{n} ≦ \frac{3}{2 n}$ が成り立つ。

(4)

(1)より $b_{n + 1} - b_{n} = - \frac{1}{2} a_{n}$ である。したがって $a_{n} = 2 (b_{n} - b_{n + 1})$ であり、和をとると

S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 2 {(b_{1} - b_{2}) + (b_{2} - b_{3}) + \dots + (b_{n} - b_{n + 1})} = 2 (b_{1} - b_{n + 1}) .

(3)より $0 < b_{n + 1} ≦ \frac{3}{2 n + 1} \to 0$ であるから $lim_{n \to \infty} S_{n} = 2 b_{1} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$ である。

東北大学 1999年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

東北大学 1999年度
後期・理系数学後期第1問