東北大学 1999年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

原点を中心として回転する半直線 $L$ と $L$ に接しながら動く半径1の円 $C$ がある．時刻 $t = 0$ では，半直線 $L$ は $y$ 軸の負の部分に一致しており，円 $C$ は中心が $(1, 0)$ にあって原点で $L$ に接しているとする．時刻 $t$ では，半直線 $L$ は原点を中心に正の向きに $t$ だけ回転し， $C$ は $L$ 上を滑らずにころがって原点から $2 t$ の距離の点 $R$ で $L$ に接しているとする．円の中心を $P$ とする．点 $Q$ は $C$ の周上の定点で $t = 0$ では原点にあるとする．
% 図は省略% 図は省略

(1) 時刻 $t$ での $P$ と $Q$ の座標を媒介変数 $t$ で表せ．

(2) $t$ が0から $\frac{π}{2}$ まで動くときの $P$ の軌跡を $K_{1}$ とし， $Q$ の軌跡を $K_{2}$ とする． $(0, 0)$ と $(1, 0)$ を結ぶ線分， $(π, 1)$ と $(π, 2)$ を結ぶ線分および $K_{1}$ と $K_{2}$ で囲まれる部分の面積を求めよ．

出典：東北大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

時刻 $t$ の半直線の単位方向を $(sin t, - cos t)$ とし、接点 $R$ を原点から距離 $2 t$ の点として表す。円の中心 $P$ は、そこから半径方向 $(cos t, sin t)$ に1だけ移した点である。円周上の固定点 $Q$ は、半直線自体の回転と、滑らずにころがることによる回転を合わせて半径方向が $(cos 3 t, sin 3 t)$ だけ変わると見て座標化する。面積は媒介変数表示の面積公式で、 $K_{2}$ 、端の縦線、 $K_{1}$ を境界とする閉曲線として計算する。

解答

(1)

時刻 $t$ における半直線 $L$ の向きは、初めに負の $y$ 軸方向であり、正の向きに $t$ だけ回転しているので $(sin t, - cos t)$ である。接点 $R$ は原点からこの向きに距離 $2 t$ だけ進んだ点だから $R = (2 t sin t, - 2 t cos t)$ である。

円の中心 $P$ は、接点 $R$ から半直線に垂直な向きに半径1だけ離れている。時刻 $t$ でその向きは $(cos t, sin t)$ であるから $P = (2 t sin t + cos t, - 2 t cos t + sin t)$ である。

次に $Q$ を求める。円は半直線上を滑らずにころがり、接点は半直線上を距離 $2 t$ だけ進んでいる。半径が1なので、ころがりによる円の回転角は $2 t$ である。さらに半直線自体が $t$ だけ回転しているため、初期に中心から $Q$ へ向かう半径方向は、全体として角 $3 t$ だけ回転した向きになる。初期には $P = (1, 0)$ 、 $Q = (0, 0)$ なので、中心から $Q$ へのベクトルは初め $(- 1, 0)$ である。したがって時刻 $t$ では $P Q = (- cos 3 t, - sin 3 t)$ である。

よって $Q = (2 t sin t + cos t - cos 3 t, - 2 t cos t + sin t - sin 3 t)$ である。

(2)

$P (t) = (X_{1} (t), Y_{1} (t))$ 、 $Q (t) = (X_{2} (t), Y_{2} (t))$ とおく。境界は、 $Q (t)$ を $t = 0$ から $π /2$ まで動かした曲線、縦線 $(π, 2)$ から $(π, 1)$ 、 $P (t)$ を $t = π /2$ から0へ戻る曲線、横線 $(1, 0)$ から $(0, 0)$ である。

媒介変数表示の面積公式を用いる。まず2つの曲線部分の寄与を計算すると $\frac{1}{2} \int_{0}^{π /2} {X_{2} Y_{2}^{'} - Y_{2} X_{2}^{'} - (X_{1} Y_{1}^{'} - Y_{1} X_{1}^{'})} d t$ である。ここに(1)の式を代入して整理すると $\int_{0}^{π /2} (4 t sin 2 t - cos 2 t + \frac{3}{2}) d t$ となる。

さらに、右端の縦線 $(π, 2)$ から $(π, 1)$ への寄与は、面積公式で $- \frac{π}{2}$ であり、左端の横線の寄与は0である。したがって求める面積は $\int_{0}^{π /2} (4 t sin 2 t - cos 2 t + \frac{3}{2}) d t - \frac{π}{2}$ である。

部分積分により $\int_{0}^{π /2} 4 t sin 2 t d t = π$ であり、

\int_{0}^{π /2} - cos 2 t d t = 0, \int_{0}^{π /2} \frac{3}{2} d t = \frac{3 π}{4}

である。よって面積は $π + 0 + \frac{3 π}{4} - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{4}$ である。

東北大学 1999年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1999年度
後期・理系数学後期第4問