問題
を0でない実数とし，2次方程式を考える．
(1) の解，がをみたすとする．このときのの値を求めよ．
(2) が虚数解をもち，その5乗が実数になるとする．このときのの値を求めよ．
出典：東北大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
(1)は解と係数の関係から 、 を使い、 の漸化式を作る。 を で表して条件と比較する。(2)は虚数解を共役複素数として極形式で表す。解が虚数になる条件から を得て、5乗が実数になる条件を偏角 が の整数倍になることとして処理する。
解答
(1)
解と係数の関係より である。 とおくと、、 は を満たすので、 に対して が成り立つ。また である。順に計算すると
条件 より である。 だから となり、 である。
(2)
2次方程式が虚数解をもつためには判別式が負である。すなわち であり、 も合わせて である。
虚数解は互いに共役なので
とおける。ただし である。解と係数の関係から である。前者を2乗して後者を代入すると であり、 より である。
また、 が実数になるには、偏角 が の整数倍であればよい。 なので であり、可能なのは である。したがって である。
よって である。ここで
を用いると したがって求める値は である。